Montrer qu'une suite est géométrique : niveau facile - Exercice 1

$$v_{n} =u_{n} -12$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -12$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,85u_{n} +1,8$$.
$$v_{n+1} =0,85u_{n} +1,8-12$$
$$v_{n+1} =0,85{\color{blue}{u_{n}}} -10,2$$.
Or $$v_{n} =u_{n} -12$$ donc $${\color{blue}{v_{n} +12=u_{n}}}$$ . Ainsi :
$$v_{n+1} =0,85\times{\color{blue}{\left(v_{n} +12\right)}}-10,2$$
$$v_{n+1} =0,85v_{n} +0,85\times 12-10,2$$
$$v_{n+1} =0,85v_{n} +10,2-10,2$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,85$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -12=8-12$$ donc $$v_{0} =-4$$

Ainsi :

On sait que $$v_{n} =u_{n} -12$$ donc $$v_{n} +12=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1< 0,85< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12$$
Ainsi :