Les suites

Montrer qu'une suite est géométrique : niveau facile

Exercice 1

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=8u_{0} =8 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,85un+1,8u_{n+1} =0,85u_{n} +1,8
Soit (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie vn=un12v_{n} =u_{n} -12
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,850,85.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12.

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 2

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=5u_{0} =5 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,5un+3u_{n+1} =0,5u_{n} +3
Soit vn=un6v_{n} =u_{n} -6
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,50,5.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(1)×0,5n+6u_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n} +6.

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 3

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=4u_{0} =4 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,75un2,5u_{n+1} =0,75u_{n} -2,5
Soit vn=un+10v_{n} =u_{n} +10
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,750,75.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(14)×0,75n10u_{n} =\left(14\right)\times 0,75^{n} -10.

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 4

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=3u_{0} =3 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9un0,4u_{n+1} =0,9u_{n} -0,4
Soit vn=un+4v_{n} =u_{n} +4
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,90,9.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(7)×0,9n4u_{n} =\left(7\right)\times 0,9^{n} -4.

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 5

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=2u_{0} =-2 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,1un+0,45u_{n+1} =0,1u_{n} +0,45
Soit vn=un12v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,10,1.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(52)×(0,1)n+12u_{n} =\left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2} .

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 6

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,6un+0,5u_{n+1} =0,6u_{n} +0,5
Soit vn=un54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,60,6.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(14)×0,6n+54u_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n} +\frac{5}{4} .

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 7

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,75un0,95u_{n+1} =0,75u_{n} -0,95
Soit vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,750,75.
Préciser v0v_{0} .

Correction
2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(4,8)×0,75n3,8u_{n} =\left(4,8\right)\times 0,75^{n} -3,8.

Correction
4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
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