Limites de suites - Exercice 1

$$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +n+1$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par addition

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ par quotient :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n^{2}}} & {=} & {0}\end{array}\right\}$$ par somme :

$$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici $$n^{2}$$.
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{2n^{2} -n+1}{n^{2} } \right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{2n^{2} }{n^{2} } -\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par produit $$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)=+\infty$$
Finalement :

$$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+2+\frac{1}{\sqrt{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ par addition

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons au numérateur par le monôme de plus haut degré donc ici $$n$$ et nous factoriserons au dénominateur par le monôme de plus haut degré donc ici $$n$$ .
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n+3}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{n}{n} +\frac{1}{n} }{\frac{2n}{n} +\frac{3}{n} }$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{3}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} } =\frac{1}{2}$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par $$n^{2}$$ au numérateur et par $$n$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$n^{2}$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$n$$.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} +1}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-2n-3}{n} \right)}$$
$$\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-2n}{n} -\frac{3}{n} \right)}$$
$$\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{n\left(-2-\frac{3}{n} \right)}$$ . On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$$\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{-2-\frac{3}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2-\frac{3}{n} } & {=} & {-2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{-2-\frac{3}{n} } =-\infty$$
Finalement :

$$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+\frac{1}{-2n-3}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{-2n-3} } & {=} & {0} \end{array}\right\}$$ par addition

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} +2n-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par $$n$$ au numérateur et par $$n^{3}$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$n$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$n^{3}$$.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{-2n^{3} +2n-3}{n^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{-2n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n}{n^{3} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right) }{n^{3} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}$$ . On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} =0$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2} +n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par $$n^{2}$$ au numérateur et par $$n^{2}$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$n^{2}$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$n^{2}$$.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}\left(\frac{n^{2}+3}{n^{2}} \right)}{n^{2} \left(\frac{-n^{2} +n+1}{n} \right)}$$
$$\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{3}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{-n^{2} }{n^{2} } +\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}$$
$$\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(1+\frac{3}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(-1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)}$$ . On simplifie par $$n^{2}$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$$\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{n^{2} } }{-1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{3}{n^{2}} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{n^{2}} }{-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} =-1$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n\sqrt{n} -3n} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+4} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici $$n$$ au numérateur et au dénominateur.
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n} \right)}{n\left(\frac{n+4}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-2n\sqrt{n} }{n} -\frac{3n}{n} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{4}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-2\sqrt{n} -\frac{3}{n}\right)}{n\left(1+\frac{4}{n} \right)}$$. On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2\sqrt{n}-\frac{3}{n} }{1+\frac{4}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2\sqrt{n}-\frac{3}{n} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{4}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2\sqrt{n}-\frac{3}{n} }{1+\frac{4}{n} } =-\infty$$
Finalement :