Les suites

La récurrence

Exercice 1

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=12un+1=2+un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {\frac{1}{2}} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\sqrt{2+u_{n} }} \end{array}\right.
1

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est majorée par 22.

Correction

Exercice 2

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=4un+1=0,92un+8\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {4} \\ {u_{n+1} } & {=} & {0,92u_{n} +8} \end{array}\right.
1

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn , on a : un=96×(0,92)n+100u_{n} =-96\times \left(0,92\right)^{n} +100

Correction

Exercice 3

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=2un+1=3un2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {3u_{n} -2} \end{array}\right.
1

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn , on a : un=1+3nu_{n} =1+3^{n}

Correction

Exercice 4

Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par : {u0=2un+1=1+1un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {1+\frac{1}{u_{n} } } \end{array}\right.
1

Soit nn un entier naturel de nn, montrer par récurrence que : 32un2\frac{3}{2}\le u_{n} \le 2

Correction

Exercice 5

Soit Sn=k=0nkS_{n} =\sum _{k=0}^{n}k .
1

Démontrer que pour tout entier naturel nn, on a Sn=n(n+1)2S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}

Correction

Exercice 6

Soit Sn=k=1nk2S_{n} =\sum _{k=1}^{n}k^{2} .
1

Démontrer que pour tout entier naturel nn non nul, on a Sn=n(n+1)(2n+1)6S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}

Correction

Exercice 7

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=0un+1=un+2n+1\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {0} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} +2n+1} \end{array}\right.
1

Démontrer que pour tout entier naturel nn un=n2u_{n} =n^{2}

Correction

Exercice 8

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=0un+1=2un+1un+2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {0} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{2u_{n} +1}{u_{n} +2}} \end{array}\right.
1

Démontrer que pour tout entier naturel nn , on a : 0un10\le u_{n} \le 1

Correction

Exercice 9

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=0un+1=2+3un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {0} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\sqrt{2+3u_{n} } } \end{array}\right.
1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.

Correction

Exercice 10

Soit f:xx2+2f:x\mapsto x^{2} +2 une fonction définie sur [0;+[\left[0;+\infty \right[. Pour tout entier naturel nn, on définit la suite (un)\left(u_{n} \right) par : {u0=4un+1=(un)2+2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {4} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\left(u_{n} \right)^{2} +2} \end{array}\right.
1

Montrer, que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.

Correction

Exercice 11

Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par : {u0=72un+1=6+un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {\frac{7}{2}} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\sqrt{6+u_{n} }} \end{array}\right.
1

Soit nn un entier naturel de nn, montrer par récurrence que : 3un103\le u_{n} \le 10

Correction
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