Les suites

La récurrence - Exercice 1

10 min
15
La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=12un+1=2+un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {\frac{1}{2}} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\sqrt{2+u_{n} }} \end{array}\right.
Question 1

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est majorée par 22.

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un2P_{n} :u_{n} \le 2 (c'est la traduction mathématique d'une suite majorée par 22).
Etape d'initialisation
On sait que u0=12u_{0} =\frac{1}{2} ainsi u02u_{0} \le 2.
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire uk2u_{k} \le 2 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire uk+12u_{k+1} \le 2
Par hypothèse de récurrence :
uk2u_{k} \le 2 , on rajoute 22 de part et d'autre de l'inégalité
2+uk2+22+u_{k} \le 2+2
2+uk42+u_{k} \le 4 on compose par la fonction racine carrée les deux membres de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche uk+1u_{k+1} ). La fonction racine carrée étant croissante sur [0,+[\left[0,+\infty \right[, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
2+uk4\sqrt{2+u_{k} } \le \sqrt{4}
Il vient alors que :
uk+12u_{k+1} \le 2
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
un2u_{n} \le 2