Les suites

Exercices types : partie 3

Exercice 1

Soit nn un entier naturel.
On définit la suite (un)(u_{n}) par u0=1u_{0} =1 et un+1=2unn+3u_{n+1} =2u_{n}-n+3.
On définit la suite (vn)(v_{n}) par vn=2nv_{n} =2^{n}.
1

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a : un=3×2n+n2u_{n} =3\times 2^{n} +n-2.

Correction
2

Déterminer la limite de la suite (un)(u_{n}).

Correction
3

Démontrer que la suite (unvn)\left(\frac{u_{n} }{v_{n} } \right) est décroissante à partir du rang 33.

Correction
On admet que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 44, on a : 0n2n1n0\le \frac{n}{2^{n} } \le \frac{1}{n}
4

Déterminer la limite de la suite (unvn)\left(\frac{u_{n} }{v_{n} } \right) .

Correction
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