Les suites

Exercices types : partie 2

Exercice 1

Soit nn un entier naturel.
On définit la suite (un)(u_{n}) par u0=13u_{0} =13 et un+1=15un+45u_{n+1} =\frac{1}{5}u_{n} +\frac{4}{5}.
On définit la suite (Sn)(S_{n}) par Sn=u0+u1+u2++unS_{n} =u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}. on peut également écrire Sn=k=0nukS_{n} =\sum _{k=0}^{n}u_{k}.
1

Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, on a : un=1+12×(15)nu_{n} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}

Correction
2

En déduire la limite de la suite (un)(u_{n}).

Correction
3

Déterminer le sens de variation de la suite (Sn)(S_{n}).

Correction
4

Montrer que Sn=n+1+15(115n+1)S_{n} =n+1+15\left(1-\frac{1}{5^{n+1} } \right)

Correction
5

Déterminer la limite de la suite (Sn)(S_{n}).

Correction

Exercice 2

Soit nn un entier naturel. On considère la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par : v0=1v_{0} =-1 et vn+1=23vn1v_{n+1} =\frac{2}{3}v_{n}-1 .
1

Démontrer , par récurrence, que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est minorée par 3-3

Correction
2

Etudier les variations de la suite (vn)\left(v_{n} \right).

Correction
3

Montrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) converge.

Correction
4

On note ll la limite de la suite (vn)\left(v_{n} \right). Déterminer ll.

Correction
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