Les suites

Exercices types : partie 1

Exercice 1

Le 11er janvier 20132013, une grande entreprise compte 15001500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10%10\% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel nn, on appelle unu_{n} le nombre d'employés de l'entreprise le 11er janvier de l'année (2013+n)(2013+n)
1

Calculer u0u_{0}, u1u_{1} et u2u_{2}

Correction
2

La suite (un)\left(u_{n} \right) de terme général unu_{n} est-elle arithmétique ? géométrique ?
Justifiez les réponses.

Correction
On admet que, pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9un+100u_{n+1} =0,9u_{n} +100
Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000
3

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) de terme général vnv_{n} est géométrique.
Préciser la raison.

Correction
4

Exprimez vnv_{n} en fonction de nn.
En déduire que pour tout entier naturel nn , un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000

Correction
5

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
6

Démontrer que pour tout entier naturel nn, un+1un=50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n} .
En déduire la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction

Exercice 2

Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie sur N\mathbb{N} par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, un+1=23un+13n+1u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1
1

Calculer u1u_{1}, u2u_{2}, u3u_{3} et u4u_{4}
On pourra en donner des valeurs approchées à 10210^{-2} près.

Correction
2

Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

Correction
3

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, unn+3u_{n} \le n+3

Correction
4

Démontrer que pour tout entier naturel nn, un+1un=13(n+3un)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} (n+3-u_{n} )

Correction
5

En déduire une validation de la conjecture précédente.

Correction
On désigne par (vn)(v_{n} ) la suite définie sur N\mathbb{N} par vn=unnv_{n} =u_{n} -n
6

Démontrer que la suite (vn)(v_{n} ) est une suite géométrique de raison 23\frac{2}{3}

Correction
7

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=2(23)n+nu_{n} =2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +n

Correction
Pour tout entier naturel non nul nn, on pose Sn=k=0nuk=u0+u1+...+unS_{n} =\sum _{k=0}^{n}u_{k} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}
8

Exprimer en fonction de nn les sommes An=k=0n2(23)k=2+2(23)1+2(23)2+...+2(23)nA_{n} =\sum _{k=0}^{n}2 \left(\frac{2}{3} \right)^{k} =2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} et Bn=k=0nkB_{n} =\sum _{k=0}^{n}k

Correction
9

En déduire SnS_{n} en fonction de nn

Correction

Exercice 3

Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie sur N\mathbb{N} par u1=2u_{1} =2 et pour tout entier naturel nn non nul , un+1=2un1unu_{n+1} =\frac{2u_{n}-1}{u_{n}}
1

Pour calculer et afficher le terme u5u_{5} , on propose l'algorithme ci-dessous.
Compléter les lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
Variables
nn est un entier naturel; uu est un réel
Initialisation
Affecter à nn la valeur 11.
Affecter à uu la valeur 22.
Traitement
Tant que ....
    Affecter à nn la valeur...
    Affecter à uu la valeur...
Fin tant que
Sortie
Afficher la valeur uu

Correction
2

Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2u_{2} jusqu'à u5u_{5} ?

Correction
Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie sur N\mathbb{N} par u1=2u_{1} =2 et pour tout entier naturel nn, un+1=2un1unu_{n+1} =\frac{2u_{n}-1}{u_{n}}
3

Compléter le tableau suivant :

Correction
4

Quelle conjecture peut-on faire sur l'expression de unu_{n} en fonction de nn ?
Démontrer, par récurrence cette conjecture.

Correction

Exercice 4

Pour chacune des cinq questions suivantes, une et une seule des propositions est correcte.
1

Soit la suite (un)(u_{n} ) définie par u0=5u_{0} =5, u1=7u_{1} =7, et pour tout entier naturel nn, un+2=3un+12unu_{n+2} =3u_{n+1} -2u_{n} .
  • u3=2u_{3} =-2
  • u3=19u_{3} =19
  • u3=23u_{3} =23

Correction
2

La suite (un)(u_{n} ) est définie pour tout entier naturel nn par un=5n23n+2u_{n} =5n^{2} -3n+2
  • La suite (un)(u_{n} ) converge vers 22.
  • La suite (un)(u_{n} ) n'a pas de limite.
  • La suite (un)(u_{n} ) diverge vers ++\infty

Correction
3

La suite (un)(u_{n} ) définie par u0=2u_{0} = 2 et pour tout entier naturel nn par un+1un=0,1unu_{n+1} -u_{n} =-0,1u_{n}
  • La suite (un)(u_{n} ) est arithmétique.
  • La suite (un)(u_{n} ) n'est ni arithmétique ni géométrique.
  • La suite (un)(u_{n} ) géométrique.

Correction
4

Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2%2\% par semaine depuis sa parution.
Au cours de la première semaine il s'en était vendu 1000010000 exemplaires.
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 4545 semaines écoulées depuis sa parution est :
  • 2390023 900
  • 718927718 927
  • 743326743 326

Correction
5

La suite (un)(u_{n} ) est définie pour tout entier naturel nn par un=16n10,5u_{n} =1-\frac{6}{n-10,5} .
  • La suite (un)(u_{n} ) est croissante.
  • La suite (un)(u_{n} ) est majorée par 11.
  • La suite (un)(u_{n} ) n'est pas monotone.

Correction

Exercice 5

On considère la fonction ff définie sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ par f(x)=2x+3x+4f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x+4} .
Partie A
1

Calculer f(x)f'\left(x\right) sur [0;+[\left[0;+\infty \right[

Correction
2

En déduire les variations de ff sur [0;+[\left[0;+\infty \right[

Correction
Partie B
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=0u_{0} =0 et un+1=2un+3un+4u_{n+1} =\frac{2u_{n} +3}{u_{n} +4} qui s'écrit également f(un)=un+1f\left(u_{n} \right)=u_{n+1}
3

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , on a 0un10\le u_{n} \le 1.

Correction
4

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est bien définie et qu'elle est croissante.

Correction
5

Que peut-on en déduire ?

Correction
Partie C
On considère la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par : vn=un1un+3v_{n} =\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3} .
On admet que (vn)\left(v_{n} \right) est bien définie.
6

Démontrer que (vn)\left(v_{n} \right) est une suite géométrique.

Correction
7

En déduire le terme général vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
8

Déterminer l'expression de unu_{n} en fonction de vnv_{n} .

Correction
9

En déduire unu_{n} en fonction de nn.

Correction
10

En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
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