Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:0≤un≤un+1≤α Etape d'initialisationOn sait que
u0=0 et
u1=g(u0)=g(0)=21ainsi
0≤u0≤u1≤α.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
0≤uk≤uk+1≤α et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
0≤uk≤uk+1≤αPar hypothèse de récurrence :
0≤uk≤uk+1≤α , or la fonction
g est croissante sur l'intervalle
[0;α] ainsi l'ordre sera conservé.
g(0)≤g(uk)≤g(uk+1)≤g(α).
Nous savons que
g(0)=0 et que
g(α)=α d'après la question
9.
De plus
g(uk)=uk+1 et que
g(uk+1)=uk+2 .
Cela nous donne :
0≤uk+1≤uk+2≤αAinsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire pour tout entier naturel
n :
0≤un≤un+1≤α