Les suites

Exercice 5 - Exercice 1

1 min
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Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une justification pour la réponse choisie.
Pour tout entier naturel nn, on considère une suite (un)\left(u_{n} \right) dont aucun terme n'est nul.
On définit alors la suite(vn)\left(v_{n} \right) par vn=−2unv_{n} =\frac{-2}{u_{n} } .
Question 1
Partie A

Proposition 11 : Si (un)\left(u_{n} \right) est convergente, alors (vn)\left(v_{n} \right) est convergente.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
En effet, considérons la suite (un)\left(u_{n} \right) définie pour tout nn par : un=1n+1u_{n} =\frac{1}{n+1} .
Alors aucun terme de la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est nul, et la suite (un)\left(u_{n} \right) converge vers 0.
Or, vn=−2unv_{n} =\frac{-2}{u_{n} } d'où vn=−2(1n+1)=−2(n+1)v_{n} =\frac{-2}{\left(\frac{1}{n+1} \right)} =-2\left(n+1\right)
Or, lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞vn−2(n+1)=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} -2\left(n+1\right)=-\infty .
Il en résulte donc que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est divergente.
Question 2

Proposition 22 : Si (un)\left(u_{n} \right) est minorée par 22, alors (vn)\left(v_{n} \right) est minorée par −\mathrm{-}11.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est a.
Si (un)\left(u_{n} \right) est minorée par 22, alors pour tout entier nn, on a : un≥2u_{n} \ge 2.
Comme la fonction inverse est décroissante sur [2;+∞[\left[2;+\infty \right[, il vient que : 1un≤12\frac{1}{u_{n} } \le \frac{1}{2} .
En multipliant par −2-2, on a −2un≥−22\frac{-2}{u_{n} } \ge \frac{-2}{2} .
Ainsi vn≥−1v_{n} \ge -1, donc (vn)\left(v_{n} \right) est minorée par −1-1 est vraie.
Question 3

Proposition 33 : Si (un)\left(u_{n} \right) est décroissante, alors (vn)\left(v_{n} \right) est croissante.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par un=1n+1u_{n} =\frac{1}{n+1} .
Cette suite est décroissante (avec aucun terme nul) et la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par vn=−2un=−2(n+1)v_{n} =\frac{-2}{u_{n} } =-2\left(n+1\right) est décroissante non constante, donc on ne peut pas dire qu'elle soit croissante.
Question 4

Proposition 44 : Si (un)\left(u_{n} \right) est divergente, alors (vn)\left(v_{n} \right) converge vers zéro.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
Rappelons qu'une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Donc soit elle tend vers ±∞\pm \infty , soit elle n'a pas de limite.
Soit un=−2×(−1)nu_{n} =-2\times \left(-1\right)^{n} . La suite (un)\left(u_{n} \right) est divergente.
Or, vn=−2un=−2−2×(−1)nv_{n} =\frac{-2}{u_{n} } =\frac{-2}{-2\times \left(-1\right)^{n} } donc vn=1(−1)n=(1)n(−1)n=(1−1)n=(−1)nv_{n} =\frac{1}{\left(-1\right)^{n} } =\frac{\left(1\right)^{n} }{\left(-1\right)^{n} } =\left(\frac{1}{-1} \right)^{n} =\left(-1\right)^{n} .
La suite (vn)\left(v_{n} \right) est également divergente.
Question 5
Partie B
Cette partie est indépendante de la partie AA.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une justification pour la réponse choisie.

Proposition 11 : La suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par vn=2nn5v_{n} =\frac{2^{n} }{n^{5} } est convergente.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞2nn5\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2^{n} }{n^{5} }
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞eln⁡(2n)eln⁡(n5)\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{e^{\ln \left(2^{n} \right)} }{e^{\ln \left(n^{5} \right)} }
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞eln⁡(2n)eln⁡(n5)\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{e^{\ln \left(2^{n} \right)} }{e^{\ln \left(n^{5} \right)} }
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞enln⁡(2)e5ln⁡(n)\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{e^{n\ln \left(2\right)} }{e^{5\ln \left(n\right)} }
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞enln⁡(2)−5ln⁡(n)\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } e^{n\ln \left(2\right)-5\ln \left(n\right)}
Calculons tout d'abord : lim⁡n→+∞nln⁡(2)−5ln⁡(n)\lim\limits_{n\to +\infty } n\ln \left(2\right)-5\ln \left(n\right)
lim⁡n→+∞nln⁡(2)−5ln⁡(n)=lim⁡n→+∞n(nln⁡(2)−5ln⁡(n)n)\lim\limits_{n\to +\infty } n\ln \left(2\right)-5\ln \left(n\right)=\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(\frac{n\ln \left(2\right)-5\ln \left(n\right)}{n} \right)
lim⁡n→+∞nln⁡(2)−5ln⁡(n)=lim⁡n→+∞n(ln⁡(2)−5ln⁡(n)n)\lim\limits_{n\to +\infty } n\ln \left(2\right)-5\ln \left(n\right)=\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(\ln \left(2\right)-\frac{5\ln \left(n\right)}{n} \right)
lim⁡n→+∞n=+∞lim⁡n→+∞ln⁡(2)−5ln⁡(n)n=ln⁡(2)}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \ln \left(2\right)-\frac{5\ln \left(n\right)}{n} } & {=} & {\ln \left(2\right)} \end{array}\right\} par produit lim⁡n→+∞n(ln⁡(2)−5ln⁡(n)n)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(\ln \left(2\right)-\frac{5\ln \left(n\right)}{n} \right)=+\infty
Par composition :
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞enln⁡(2)−5ln⁡(n)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } e^{n\ln \left(2\right)-5\ln \left(n\right)} =+\infty

La suite (vn)\left(v_{n} \right) est donc divergente.
Question 6

Proposition 22 : Pour tout entier naturel nn, une suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par {u0=2un+1=2un−1\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {2u_{n} -1} \end{array}\right.
La suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par vn=ln⁡(un−1)v_{n} =\ln \left(u_{n} -1\right) est arithmétique de raison −ln⁡(2)-\ln \left(2\right).
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
vn+1−vn=ln⁡(un+1−1)−ln⁡(un−1)v_{n+1} -v_{n} =\ln \left(u_{n+1} -1\right)-\ln \left(u_{n} -1\right)
vn+1−vn=ln⁡(2un−1−1)−ln⁡(un−1)v_{n+1} -v_{n} =\ln \left(2u_{n} -1-1\right)-\ln \left(u_{n} -1\right) car un+1=2un−1u_{n+1} =2u_{n} -1
vn+1−vn=ln⁡(2un−2)−ln⁡(un−1)v_{n+1} -v_{n} =\ln \left(2u_{n} -2\right)-\ln \left(u_{n} -1\right)
vn+1−vn=ln⁡(2×(un−1))−ln⁡(un−1)v_{n+1} -v_{n} =\ln \left(2\times \left(u_{n} -1\right)\right)-\ln \left(u_{n} -1\right)
vn+1−vn=ln⁡2+ln⁡(un−1)−ln⁡(un−1)v_{n+1} -v_{n} =\ln 2+\ln \left(u_{n} -1\right)-\ln \left(u_{n} -1\right)
vn+1−vn=ln⁡2v_{n+1} -v_{n} =\ln 2

La suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par vn=ln⁡(un−1)v_{n} =\ln \left(u_{n} -1\right) est arithmétique de raison ln⁡(2)\ln \left(2\right).
Question 7

Proposition 33 : Pour tout entier nn non nul, la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par : vn=∑k=0n1n+kv_{n} =\sum _{k=0}^{n}\frac{1}{n+k} est décroissante.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est a.
vn=∑k=0n1n+kv_{n} =\sum _{k=0}^{n}\frac{1}{n+k} peut également s'écrire vn=1n+1n+1+1n+2+…+12nv_{n} =\frac{1}{n} +\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\ldots +\frac{1}{2n} .
Ainsi vn+1=∑k=0n+11n+1+kv_{n+1} =\sum _{k=0}^{n+1}\frac{1}{n+1+k} d'où vn+1=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12(n+1)v_{n+1} =\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\frac{1}{n+3} +\ldots +\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2\left(n+1\right)}
Il vient alors que :
vn+1−vn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12(n+1)−(1n+1n+1+1n+2+…+12n)v_{n+1} -v_{n} =\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\frac{1}{n+3} +\ldots +\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2\left(n+1\right)} -\left(\frac{1}{n} +\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\ldots +\frac{1}{2n} \right)
vn+1−vn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n+12(n+1)−1n−1n+1−1n+2−…−12nv_{n+1} -v_{n} =\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\frac{1}{n+3} +\ldots +\frac{1}{2n} +\frac{1}{2\left(n+1\right)} -\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+2} -\ldots -\frac{1}{2n}
vn+1−vn=−1n+12(n+1)v_{n+1} -v_{n} =-\frac{1}{n} +\frac{1}{2\left(n+1\right)}
vn+1−vn=−2(2n+1)(n+1)2n(2n+1)(n+1)+2n(n+1)2n(2n+1)(n+1)+n(2n+1)2n(2n+1)(n+1)v_{n+1} -v_{n} =-\frac{2\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)} +\frac{2n\left(n+1\right)}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)} +\frac{n\left(2n+1\right)}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}
vn+1−vn=−2(2n2+2n+n+1)+2n2+2n+2n2+n2n(2n+1)(n+1)v_{n+1} -v_{n} =\frac{-2\left(2n^{2} +2n+n+1\right)+2n^{2} +2n+2n^{2} +n}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}
vn+1−vn=−2(2n2+3n+1)+4n2+3n2n(2n+1)(n+1)v_{n+1} -v_{n} =\frac{-2\left(2n^{2} +3n+1\right)+4n^{2} +3n}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}
vn+1−vn=−4n2−6n−2+4n2+3n2n(2n+1)(n+1)v_{n+1} -v_{n} =\frac{-4n^{2} -6n-2+4n^{2} +3n}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}
vn+1−vn=−3n−22n(2n+1)(n+1)v_{n+1} -v_{n} =\frac{-3n-2}{2n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}
Pour tout entier nn non nul, on a 2n(2n+1)(n+1)>02n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)>0 et −3n−2<0-3n-2<0 .
Ainsi :
vn+1−vn<0v_{n+1} -v_{n} <0

La suite (vn)\left(v_{n} \right) est décroissante.