Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un≤(43)n−5u5Etape d'initialisationLorsque
n=5 , on a
u5≤(43)5−5u5 qui donne
u5≤(43)0u5 c'est-à-dire
u5≤u5 .
La propriété
P5 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk≤(43)k−5u5 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1≤(43)k−4u5Par hypothèse de récurrence,
uk≤(43)k−5u5 , on multiplie par
43 de part et d'autre de l'inégalité
43uk≤43×(43)k−5u543uk≤(43)k−4u5.
Or d'après la question 4, on a montré que :
uk+1<43uk.
Il vient alors que :
uk+1<43uk≤(43)k−4u5.On peut donc écrire que :
uk+1≤(43)k−4u5Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P5 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n≥5, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n≥5, on a bien :
un≤(43)n−5u5 .