On rappelle que :
un+1=1+2un3unPour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un>0 .
Etape d'initialisationOn sait que
u0=21 ainsi
u0>0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk>0 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1>0Par hypothèse de récurrenceuk>0 , donc
3uk>0De plus,
1+2uk>1 ainsi
1+2uk>0 donc
1+2uk3uk>0Il vient alors que :
Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :