Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un=wnEtape d'initialisationOn a vu précédemment à la question 2 que
u0=w0.
La propriété
P0 est vraie
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire :
uk=wk et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1=wk+1.
On sait que :
uk+1=2−uk1Par hypothèse de récurrence, on a :
uk=wk.
uk+1=2−wk1, or :
wk=k+1k, d'où :
uk+1=2−k+1k1 équivaut successivement à
uk+1=k+12(k+1)−k+1k1uk+1=k+1k+21uk+1=k+2k+1uk+1=wk+1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
un=wn .