Les suites

Convergence des suites monotones

Exercice 1

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=12u_{0} =12 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=34un+2u_{n+1} =\frac{3}{4}u_{n}+2.
1

Démontrer que , pour tout entier naturel nn, on a : un8u_{n} \ge 8

Correction
2

Déterminer le sens de la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
3

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction

Exercice 2

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=32u_{0} =\frac{3}{2} et pour tout entier naturel nn, on a un+1=un22un+2u_{n+1} =u_{n}^{2} -2u_{n} +2.
1

Calculer les valeurs de u1u_{1} et u2u_{2}.

Correction
On admet que , pour tout entier naturel nn, on a : 1un21\le u_{n} \le 2
2

Montrer que : un+1un=(un2)(un1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)

Correction
3

Déterminer le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}.

Correction
4

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction

Exercice 3

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=2unu_{n+1} =\sqrt{2u_{n} }.
1

Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel nn, on a : 0un20\le u_{n} \le 2 .

Correction
2

Déterminer le sens de la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
3

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction

Exercice 4

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=10u_{0} =10 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=25un+3u_{n+1} =\frac{2}{5}u_{n}+3.
1

Démontrer que , pour tout entier naturel nn, que la suite (un)\left(u_{n} \right) est minorée par 55.

Correction
2

Déterminer le sens de la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
3

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction
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