Pour tout entier naturel
n≥1, posons la propriété
Pn:0≤an≤0,6 Etape d'initialisationOn sait que
a1=a=0,5 ainsi
0≤a1≤0,6.
La propriété
P1 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
0≤ak≤0,6 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
0≤ak+1≤0,6Par hypothèse de récurrence :
0≤ak≤0,6 , on multiplie par
0,5 de part et d'autre de l'inégalité
0×0,5≤ak×0,5≤0,6×0,50≤0,5ak≤0,3 , on ajoute
0,3 de part et d'autre de l'inégalité. Il vient alors que :
0+0,3≤0,5ak+0,3≤0,3+0,3 Ainsi :
0,3≤0,5ak+0,3≤0,6 et on peut alors écrire que :
0≤ 0,3≤ak+1≤0,6 d'où :
0≤ak+1≤0,6Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P1 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n≥1, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n≥1, on a bien :
0≤an≤0,6