Les probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercice 1 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1

Dans un club de d'échecs 40%40\% sont des hommes et 60%60\% sont des femmes et 60%60\% des hommes et 50%50\% des femmes font de la compétition.
On interroge une personne au hasard : cette personne fait de la compétition.
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
  • 59\frac{5}{9}
  • 0,30,3
  • 2750\frac{27}{50}

Correction
La bonne réponse est a.
On note AA l'évènement « être une femme ».
On note BB l'évènement « faire de la compétition ».
On va établir l'arbre de probabilité relatif à l'énoncé.
On obtient alors :
On interroge une personne au hasard : cette personne fait de la compétition.
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Il s'agit d'ici d'une probabilité conditionnelle.
On sait que la personne fait de la compétition, et on veut que cela soit une femme.
Il s'agit donc de PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)} .
On va calculer P(A∩B)P\left(A\cap B\right) et P(B)P\left(B\right).
D'une part :
Calcul de P(A∩B)P\left(A\cap B\right)
P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)
P(A∩B)=0,6×12=0,3P\left(A\cap B\right)=0,6\times \frac{1}{2} =0,3

D'autre part :
Calcul de P(B)P\left(B\right)
AA et A‾\overline{A} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
P(B)=P(A)×PA(B)+P(A‾)×PA‾(B)P\left(B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
Soit P(B)=0,6×12+0,4×0,6P\left(B\right)=0,6\times \frac{1}{2} +0,4\times 0,6
Ainsi
P(B)=0,54P\left(B\right)=0,54

Enfin PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)} s'écrit
PB(A)=0,30,54=59P_{B} \left(A\right)=\frac{0,3}{0,54} =\frac{5}{9}
Question 2

Lors d'un jeu, un candidat doit répondre à 44 questions indépendantes les unes des autres.
Pour chacune des questions, la probabilité qu'il donne la bonne réponse est de 40%40\%.
Quelle est la probabilité qu'il donne au moins une réponse correcte ?
  • 0,02560,0256
  • 0,47520,4752
  • 0,87040,8704

Correction
La bonne réponse est c.

Rédaction type pour la loi binomiale :
A chaque question la probabilité de répondre correctement est de 0,40,4.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « répondre correctement » avec la probabilité p=0,4p=0,4
On appelle échec « répondre faussement » avec la probabilité 1−p=0,61-p=0,6
On répète quatre fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de bonnes réponses.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=4n=4 et p=0,4p=0,4.
On note alors X∼B(4;0,4)X \sim B\left(4;0,4\right)

On doit calculer P(X≥1)P\left(X\ge 1\right).
Or P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
Pour le calcul de P(X=0)P\left(X=0\right)
Avec une Texas, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Texas)
2nd{}^{nd} - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k ) c'est-à-dire ici BinomFdp(4, 0,40,4 , 0) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
P(X=0)≈0,1296P\left(X=0\right)\approx 0,1296
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Enfin : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) soit P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) d'où
P(X≥1)≈1−0,1296=0,8704.P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,1296=0,8704.
Avec une Casio Graph 35+35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Casio)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 Valeur de k
Numtrial : 44 Valeur de nn
pp : 0,40,4 Valeur depp

puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
P(X=0)≈0,1296P\left(X=0\right)\approx 0,1296
arrondi à 10−310^{-3} près.
Enfin : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) soit P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
d'où : P(X≥1)≈1−0,1296=0,8704.P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,1296=0,8704.
Question 3

Soient AA et BB deux évènements indépendants tels que P(A)=13P\left(A\right)=\frac{1}{3} et P(B)=14P\left(B\right)=\frac{1}{4} .
Alors on peut affirmer que :
  • P(A∪B)=12P\left(A\cup B\right) = \frac{1}{2}
  • P(A∪B)=112P\left(A\cup B\right) = \frac{1}{12}
  • P(A∪B)=712P\left(A\cup B\right) = \frac{7}{12}

Correction
La bonne réponse est a.
On sait que P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
De plus , AA et BB sont deux évènements indépendants. Il vient alors que P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)
P(A∩B)=13×14=112P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} =\frac{1}{12}
Finalement :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
P(A∪B)=13+14−112P\left(A\cup B\right)=\frac{1}{3} +\frac{1}{4} -\frac{1}{12}
P(A∪B)=12P\left(A\cup B\right)=\frac{1}{2}
Question 4

Quelle est l'espérance pour la variable XX de loi binomiale B(20;0,4)B\left(20;0,4\right) ?
  • 2020
  • 88
  • 0,40,4

Correction
La bonne réponse est b.
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p)B\left(n;p\right) alors l'espérance mathématique E(X)E\left(X\right) vaut E(X)=npE\left(X\right)=np
E(X)=20×0,4=8E\left(X\right)=20\times 0,4=8
Question 5

Quelle est l'écart type pour la variable XX de loi binomiale B(100;0,5)B\left(100;0,5\right) ?
  • 5050
  • 2525
  • 55

Correction
La bonne réponse est c.
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p)B\left(n;p\right) alors l'espérance mathématique σ(X)\sigma \left(X\right) vaut σ(X)=np(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}
σ(X)=100×0,5×(1−0,5)=5\sigma \left(X\right)=\sqrt{100\times 0,5\times \left(1-0,5\right)} =5
Question 6

Soit mm un réel. Soit XX une variable aléatoire réelle dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous :
Quelle doit être la valeur de mm pour que le jeu soit équitable ?
  • m=215m=\frac{2}{15}
  • m=112m=\frac{1}{12}
  • m=16m=\frac{1}{6}

Correction
La bonne réponse est a.
Le jeu est équitable si et seulement si l'espérance est nulle.
Il vient alors que :
−2×512+0×13+1×16+5×m=0-2\times \frac{5}{12} +0\times \frac{1}{3} +1\times \frac{1}{6} +5\times m=0
−1012+16+5×m=0-\frac{10}{12} +\frac{1}{6} +5\times m=0
−1012+212+5×m=0-\frac{10}{12} +\frac{2}{12} +5\times m=0
−812+5×m=0-\frac{8}{12} +5\times m=0
−812+5×m=0-\frac{8}{12} +5\times m=0
−23+5×m=0-\frac{2}{3} +5\times m=0
5×m=235\times m=\frac{2}{3}
m=23×15m=\frac{2}{3} \times \frac{1}{5}
m=215m=\frac{2}{15}
Question 7

Soit XX une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=9n=9 et p=13p=\frac{1}{3} .
Alors p(X=4)p\left(X=4\right) est égale à :
  • p(X=4)=(94)×(23)9×(13)4p\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(\frac{2}{3} \right)^{9} \times \left(\frac{1}{3} \right)^{4}
  • p(X=4)=(49)×(13)5×(23)4p\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {4} \\ {9} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{5} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{4}
  • p(X=4)=(94)×(13)4×(23)5p\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{4} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{5}
  • p(X=4)=(13)4×(23)5p\left(X=4\right)=\left(\frac{1}{3} \right)^{4} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{5}

Correction
La bonne réponse est c.
Dans un schéma de Bernoulli d'ordre nn et de paramètre pp, la loi de probabilité de la variable aléatoire XX qui a chaque issue associe le nombre de succès est définie par : p(X=k)=(n4)×(p)k×(1−p)n−k.p\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(p\right)^{k} \times \left(1-p\right)^{n-k} .
On dit alors que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n,p\right).
On applique la formule en substituant nn par 99 et pp par 13\frac{1}{3} .
Il vient alors :
p(X=4)=(94)×(13)4×(23)5p\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{4} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{5}
Question 8
XX est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres (n;p)\left(n;p\right) tels que E(X)=2,7E\left(X\right)=2,7 et Var(X)=1,89Var\left(X\right)=1,89.

Le couple (n;p)\left(n;p\right) est :
  • (27;0,1)\left(27;0,1\right)
  • (9;0,3)\left(9;0,3\right)
  • (3;0,9)\left(3;0,9\right)
  • aucune des trois réponses précédentes n'est exacte

Correction
La bonne réponse est b.
    XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p)B\left(n;p\right) alors l'espérance mathématique E(X)E\left(X\right) , la variance V(X)V\left(X\right) et l'écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=npE\left(X\right)=np
  • V(X)=np(1−p)V\left(X\right)=np\left(1-p\right)
  • σ(X)=np(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}

Nous devons résoudre le système suivant :
{E(X)=2,7V(X)=1,89\left\{\begin{array}{cccc} {E\left(X\right)} & {=} & {2,7} \\ {V\left(X\right)} & {=} & {1,89} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{np=2,7np(1−p)=1,89\left\{\begin{array}{cccc} {np} & {=} & {2,7} \\ {np\left(1-p\right)} & {=} & {1,89} \end{array}\right.
{np=2,72,7×(1−p)=1,89\left\{\begin{array}{cccc} {np} & {=} & {2,7} \\ {2,7\times\left(1-p\right)} & {=} & {1,89} \end{array}\right.
{np=2,71−p=1,892,7\left\{\begin{array}{cccc} {np} & {=} & {2,7} \\ {1-p} & {=} & {\frac{1,89}{2,7}} \end{array}\right.
{np=2,71−p=0,7\left\{\begin{array}{cccc} {np} & {=} & {2,7} \\ {1-p} & {=} & {0,7} \end{array}\right.
{np=2,7p=0,3\left\{\begin{array}{cccc} {np} & {=} & {2,7} \\ {p} & {=} & {0,3} \end{array}\right.
{n×0,3=2,7p=0,3\left\{\begin{array}{cccc} {n\times 0,3} & {=} & {2,7} \\ {p} & {=} & {0,3} \end{array}\right.
Ainsi :
{n=9p=0,3\left\{\begin{array}{cccc} {n} & {=} & {9} \\ {p} & {=} & {0,3} \end{array}\right.