Les nombres complexes

Savoir déterminer la forme trigonométrique et la forme exponentielle avec les complexes - Exercice 1

25 min
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Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle des nombres complexes suivants.
Pour cette exercice, on commencera à donner les modules et les arguments.
Ensuite on pourra écrire la forme exponentielle et la forme trigonométrique.
Question 1

z1=23+2iz_{1} =2\sqrt{3} +2i

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
z1=(23)2+(2)2z1=4\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(2\sqrt{3} \right)^{2} +\left(2\right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{1} \right|=4
On a donc {cos(θ)=234sin(θ)=24\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2\sqrt{3} }{4} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2}{4} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=32sin(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π6[2π]\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right] ou encore arg(z1)=π6[2π]\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
L'écriture trigonométrique de z1z_{1} est alors
z1=4(cos(π6)+isin(π6))z_{1} =4\left(\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\right)

L'écriture exponentielle de z1z_{1} est alors
z1=4eiπ6z_{1} =4e^{i\frac{\pi }{6} }
Question 2

z2=1212iz_{2} =\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
z2=(12)2+(12)2z2=22\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(-\frac{1}{2} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{2} }{2}
On a donc {cos(θ)=(12)(22)sin(θ)=(12)(22)\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(\frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(-\frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=22sin(θ)=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π4[2π]\theta =-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right] ou encore arg(z2)=π4[2π]\arg \left(z_{2} \right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
L'écriture trigonométrique de z2z_{2} est alors
z2=22(cos(π4)+isin(π4))z_{2} =\frac{\sqrt{2} }{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\right)

L'écriture exponentielle de z2z_{2} est alors
z2=22eiπ4z_{2} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{-i\frac{\pi }{4} }
Question 3

z3=333iz_{3} =3-3\sqrt{3} i

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
z3=32+(33)2z3=6\left|z_{3} \right|=\sqrt{3^{2} +\left(-3\sqrt{3} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{3} \right|=6
On a donc {cos(θ)=36sin(θ)=336\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{3}{6} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-3\sqrt{3} }{6} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=12sin(θ)=32\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{\sqrt{3} }{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π3[2π]\theta =-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right] ou encore arg(z3)=π3[2π]\arg \left(z_{3} \right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]
L'écriture trigonométrique de z3z_{3} est alors
z3=6(cos(π3)+isin(π3))z_{3} =6\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\right)

L'écriture exponentielle de z3z_{3} est alors
z3=6eiπ3z_{3} =6e^{-i\frac{\pi }{3} }
Question 4

z4=5iz_{4} =5i

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
z4=02+52z4=5\left|z_{4} \right|=\sqrt{0^{2} +5^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{4} \right|=5
On a donc {cos(θ)=05sin(θ)=55\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{5} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{5}{5} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=0sin(θ)=1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {0} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π2[2π]\theta =\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right] ou encore arg(z4)=π2[2π]\arg \left(z_{4} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
L'écriture trigonométrique de z4z_{4} est alors
z4=5(cos(π2)+isin(π2))z_{4} =5\left(\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)\right)

L'écriture exponentielle de z4z_{4} est alors
z4=5eiπ2z_{4} =5e^{i\frac{\pi }{2} }
Question 5

z5=8z_{5} =-8

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
z5=(8)2z5=8\left|z_{5} \right|=\sqrt{\left(-8\right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{5} \right|=8
On a donc {cos(θ)=88sin(θ)=08\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-8}{8} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{8} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=1sin(θ)=0\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {-1} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π[2π]\theta =-\pi \left[2\pi \right] ou encore arg(z5)=π[2π]\arg \left(z_{5} \right)=-\pi \left[2\pi \right]
L'écriture trigonométrique de z5z_{5} est alors
z5=8(cos(π)+isin(π))z_{5} =8\left(\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)\right)

L'écriture exponentielle de z5z_{5} est alors
z5=8eiπz_{5} =8e^{-i\pi }
Question 6

z6=3+i2+2iz_{6} =\frac{\sqrt{3} +i}{2+2i}

Correction
  • z1z2=z1z2\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
  • arg(z1z2)=arg(z1)arg(z2)\arg \left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)=\arg \left(z_{1} \right)-\arg \left(z_{2} \right)
  • Pour ce quotient, calculons le module et l'argument du numérateur 3+i\sqrt{3} +i puis le module et l'argument du numérateur 2+2i2+2i
    Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument).
  • D'une part pour 3+i\sqrt{3} +i, le module vaut 22 et l'argument vaut θ=π6[2π]\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right] .
    Donc l'écriture exponentielle de 3+i\sqrt{3} +i est 2eiπ62e^{i\frac{\pi }{6} } .
  • D'autre part pour 2+2i2+2i, le module vaut 222\sqrt{2} et l'argument vaut θ=π4[2π]\theta =\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right] .
    Donc l'écriture exponentielle de 2+2i2+2i est 22eiπ42\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } .
  • Ainsi :
    z6=3+i2+2iz_{6} =\frac{\sqrt{3} +i}{2+2i} équivaut successivement à
    z6=2eiπ622eiπ4z_{6} =\frac{2e^{i\frac{\pi }{6} } }{2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } }
    z6=22ei(π6π4)z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{i\left(\frac{\pi }{6} -\frac{\pi }{4} \right)}
    z6=22ei(2π123π12)z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{i\left(\frac{2\pi }{12} -\frac{3\pi }{12} \right)}
    z6=22eiπ12z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{-i\frac{\pi }{12} }
    L'écriture exponentielle de z6z_{6} est alors
    z6=22eiπ12z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{-i\frac{\pi }{12} }

    L'écriture trigonométrique de z6z_{6} est alors
    z6=22(cos(π12)+isin(π12))z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi }{12} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12} \right)\right)
    Question 7

    z7=(1i)(3i)z_{7} =\left(-1-i\right)\left(-\sqrt{3} -i\right)

    Correction
  • z1z2=z1z2\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\left|z_{2} \right|
  • arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)\arg \left(z_{1} z_{2} \right)=\arg \left(z_{1} \right)+\arg \left(z_{2} \right)
  • Pour ce produit, calculons le module et l'argument du numérateur 1i-1-i puis le module et l'argument du numérateur 3i-\sqrt{3} -i
    Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument)
  • D'une part pour 1i-1-i le module vaut 2\sqrt{2} et l'argument vaut θ=3π4[2π]\theta =-\frac{3\pi }{4} \left[2\pi \right] .
    Donc l'écriture exponentielle de 1i-1-i est 2ei3π4\sqrt{2} e^{-i\frac{3\pi }{4} } .
  • D'autre part pour 3i-\sqrt{3} -i le module vaut 22 et l'argument vaut θ=5π6[2π]\theta =-\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right] .
    Donc l'écriture exponentielle de 3i-\sqrt{3} -i est 22ei5π62\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi }{6} } .
  • Ainsi :
    z7=(1i)(3i)z_{7} =\left(-1-i\right)\left(-\sqrt{3} -i\right)
    z7=(2ei3π4)(22ei5π6)z_{7} =\left(\sqrt{2} e^{-i\frac{3\pi }{4} } \right)\left(2\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi }{6} } \right)
    z7=2×22×ei3π4×ei5π6z_{7} =\sqrt{2}\times2\sqrt{2} \times e^{-i\frac{3\pi }{4} } \times e^{-i\frac{5\pi }{6} }
    z7=4ei(3π4+(5π6))z_{7} =4 e^{i\left(-\frac{3\pi }{4} +\left(-\frac{5\pi }{6} \right)\right)}
    z7=4ei(3π45π6)z_{7} =4 e^{i\left(-\frac{3\pi }{4} -\frac{5\pi }{6} \right)}
    z7=4ei(9π1210π12)z_{7} =4 e^{i\left(-\frac{9\pi }{12} -\frac{10\pi }{12} \right)}
    z7=4ei(19π12)z_{7} =4e^{i\left(-\frac{19\pi }{12} \right)}
    L'écriture exponentielle de z7z_{7} est alors
    z7=4ei19π12z_{7} =4e^{-i\frac{19\pi }{12} }

    L'écriture trigonométrique de z7z_{7} est alors
    z7=4(cos(19π12)+isin(19π12))z_{7} =4\left(\cos \left(-\frac{19\pi }{12} \right)+i\sin \left(-\frac{19\pi }{12} \right)\right)