Savoir déterminer la forme trigonométrique et la forme exponentielle avec les complexes - Exercice 1
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Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle des nombres complexes suivants. Pour cette exercice, on commencera à donner les modules et les arguments. Ensuite on pourra écrire la forme exponentielle et la forme trigonométrique.
Question 1
z1=23+2i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
∣z1∣=(23)2+(2)2⇔∣z1∣=4 On a donc {cos(θ)sin(θ)==42342 d'où {cos(θ)sin(θ)==2321 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=6π[2π] ou encore arg(z1)=6π[2π] L'écriture trigonométrique de z1 est alors
z1=4(cos(6π)+isin(6π))
L'écriture exponentielle de z1 est alors
z1=4ei6π
Question 2
z2=21−21i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
∣z2∣=(21)2+(−21)2⇔∣z2∣=22 On a donc ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==(22)(21)(22)(−21) d'où {cos(θ)sin(θ)==22−22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−4π[2π] ou encore arg(z2)=−4π[2π] L'écriture trigonométrique de z2 est alors
z2=22(cos(−4π)+isin(−4π))
L'écriture exponentielle de z2 est alors
z2=22e−i4π
Question 3
z3=3−33i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
∣z3∣=32+(−33)2⇔∣z3∣=6 On a donc {cos(θ)sin(θ)==636−33 d'où {cos(θ)sin(θ)==21−23 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−3π[2π] ou encore arg(z3)=−3π[2π] L'écriture trigonométrique de z3 est alors
z3=6(cos(−3π)+isin(−3π))
L'écriture exponentielle de z3 est alors
z3=6e−i3π
Question 4
z4=5i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
∣z4∣=02+52⇔∣z4∣=5 On a donc {cos(θ)sin(θ)==5055 d'où {cos(θ)sin(θ)==01 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=2π[2π] ou encore arg(z4)=2π[2π] L'écriture trigonométrique de z4 est alors
z4=5(cos(2π)+isin(2π))
L'écriture exponentielle de z4 est alors
z4=5ei2π
Question 5
z5=−8
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
∣z5∣=(−8)2⇔∣z5∣=8 On a donc {cos(θ)sin(θ)==8−880 d'où {cos(θ)sin(θ)==−10 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−π[2π] ou encore arg(z5)=−π[2π] L'écriture trigonométrique de z5 est alors
z5=8(cos(−π)+isin(−π))
L'écriture exponentielle de z5 est alors
z5=8e−iπ
Question 6
z6=2+2i3+i
Correction
∣∣z2z1∣∣=∣z2∣∣z1∣
arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2)
Pour ce quotient, calculons le module et l'argument du numérateur 3+i puis le module et l'argument du numérateur 2+2i Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument).
D'une part pour 3+i, le module vaut 2 et l'argument vaut θ=6π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de 3+i est 2ei6π.
D'autre part pour 2+2i, le module vaut 22 et l'argument vaut θ=4π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de 2+2i est 22ei4π.
Ainsi : z6=2+2i3+i équivaut successivement à z6=22ei4π2ei6π z6=22ei(6π−4π) z6=22ei(122π−123π) z6=22e−i12π L'écriture exponentielle de z6 est alors
z6=22e−i12π
L'écriture trigonométrique de z6 est alors
z6=22(cos(−12π)+isin(−12π))
Question 7
z7=(−1−i)(−3−i)
Correction
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)
Pour ce produit, calculons le module et l'argument du numérateur −1−i puis le module et l'argument du numérateur −3−i Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument)
D'une part pour −1−i le module vaut 2 et l'argument vaut θ=−43π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de −1−i est 2e−i43π.
D'autre part pour −3−i le module vaut 2 et l'argument vaut θ=−65π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de −3−i est 22e−i65π.
Ainsi : z7=(−1−i)(−3−i) z7=(2e−i43π)(22e−i65π) z7=2×22×e−i43π×e−i65π z7=4ei(−43π+(−65π)) z7=4ei(−43π−65π) z7=4ei(−129π−1210π) z7=4ei(−1219π) L'écriture exponentielle de z7 est alors