Les nombres complexes

QCM : Faciles - Exercice 1

30 min
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Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Les réponses doivent être justifiées.
Question 1

L'inverse de 1+i3i\frac{1+i}{3-i} est 12i1-2i.

Correction
 La proposition est VRAIE. \red{\text{ La proposition est VRAIE. }}
On note A=1+i3iA=\frac{1+i}{3-i} , nous allons calculer la forme algébrique de AA .
A=(1+i)(3+i)(3i)(3+i)A=\frac{\left(1+i\right)\left(3+i\right)}{\left(3-i\right)\left(3+i\right)}
A=3+i+3i+i232+12A=\frac{3+i+3i+i^{2} }{3^{2} +1^{2} }
A=3+i+3i110A=\frac{3+i+3i-1}{10}
A=2+4i10A=\frac{2+4i}{10}
A=210+4i10A=\frac{2}{10}+\frac{4i}{10}
A=15+25iA=\frac{1}{5} +\frac{2}{5} i

On note B=12iB=1-2i, l'inverse de BB noté CC vaut 112i\frac{1}{1-2i} . L'objectif est de vérifier ici que C=AC=A
Nous allons calculer la forme algébrique de C=112iC=\frac{1}{1-2i}
C=112iC=\frac{1}{1-2i}
C=1×(1+2i)(12i)(1+2i)C=\frac{1\times \left(1+2i\right)}{\left(1-2i\right)\left(1+2i\right)}
C=1+2i12+22C=\frac{1+2i}{1^{2} +2^{2} }
C=1+2i5C=\frac{1+2i}{5}
C=15+2i5C=\frac{1}{5} +\frac{2i}{5}
C=AC=A

On a bien le fait que l'inverse de 1+i3i\frac{1+i}{3-i} est 12i1-2i.
Question 2

Pour tout entier naturel nn, (1+i)4n=(4)n\left(1+i\right)^{4n} =\left(-4\right)^{n}

Correction
 La proposition est VRAIE. \red{\text{ La proposition est VRAIE. }}
(1+i)4n=((1+i)4)n\left(1+i\right)^{4n} =\left(\left(1+i\right)^{4} \right)^{n} car (an)m=an×m\left(a^{n} \right)^{m} =a^{n\times m} .
On développer maintenant (1+i)4\left(1+i\right)^{4} . Or : (1+i)4=(1+i)2×(1+i)2=4\left(1+i\right)^{4} =\left(1+i\right)^{2} \times \left(1+i\right)^{2} =-4
(1+i)4n=((1+i)4)n\left(1+i\right)^{4n} =\left(\left(1+i\right)^{4} \right)^{n} d'où
(1+i)4n=(4)n\left(1+i\right)^{4n} =\left(-4\right)^{n}

Question 3

Pour tout nombre complexe zz, le conjugué de (z+i)\left(z+i\right) est ziz-i

Correction
 La proposition est FAUSSE. \red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}
Le conjugué de z+iz+i est
zi\overline{z}-i
.
En effet , d'après votre cours z1+z2=z1+z2\overline{z_{1} +z_{2} }=\overline{z_{1} }+\overline{z_{2} }
Question 4
Pour les questions 44 et 55, on définit zz un nombre complexe différent de 2-2, on note : z=z1z+2z'=\frac{z-1}{z+2}.

si z=iz=-i alors z=15+35iz'=-\frac{1}{5} +\frac{3}{5} i

Correction
 La proposition est FAUSSE. \red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}
Soit zz un nombre complexe différent de 2-2.
Comme z=z1z+2z'=\frac{z-1}{z+2} et que z=iz=-i, il vient alors que :
z=i1i+2z'=\frac{-i-1}{-i+2} on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par i+2i+2.
z=(i1)(i+2)(i+2)(i+2)z'=\frac{\left(-i-1\right)\left(i+2\right)}{\left(-i+2\right)\left(i+2\right)} équivaut successivement :
z=i22ii212+22z'=\frac{-i^{2}-2i-i-2 }{1^{2} +2^{2} }
z=13i25z'=\frac{1-3i-2}{5}
Ainsi :
z=1535iz'=-\frac{1}{5} -\frac{3}{5} i

Question 5

si z=iz'=-i alors z=12+32iz=-\frac{1}{2} +\frac{3}{2} i

Correction
 La proposition est FAUSSE. \red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}

AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
Soit zz un nombre complexe différent de 2-2.
Comme z=z1z+2z'=\frac{z-1}{z+2} et que z=iz'=-i, il vient alors que :
z1z+2=i\frac{z-1}{z+2}=-i qui peut également s'écrire z1z+2=i1\frac{z-1}{z+2} =\frac{-i}{1} . Ici on utilise le rappel :
Il vient alors que :
z1=(z+2)(i)z-1=\left(z+2\right)\left(-i\right) équivaut successivement à :
z1=iz2iz-1=-iz-2i
z+iz=2i+1z+iz=-2i+1
z(1+i)=2i+1z\left(1+i\right)=-2i+1
z=2i+11+iz =\frac{-2i+1}{1+i} . On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par 1i1-i.
z=(2i+1)(1i)(1+i)(1i)z=\frac{\left(-2i+1\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}
z=2i+2i2+1i12+12z=\frac{-2i+2i^{2}+1-i }{1^{2} +1^{2} }
z=2i2+1i2z=\frac{-2i-2+1-i }{2 }
Ainsi :
z=1232iz=-\frac{1}{2} -\frac{3}{2} i

Question 6

Soit zCz\in \mathbb{C} . L'équation z=z-z=\overline{z} admet une unique solution.

Correction
 La proposition est FAUSSE. \red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}
Soit zCz\in \mathbb{C}, posons : z=x+iyz=x+iy et z=xiy\overline{z}=x-iy avec xx, yy des réels.
z=z-z=\overline{z} équivaut successivement à :
(x+iy)=xiy-\left(x+iy\right)=x-iy
xiy=xiy-x-iy=x-iy
xiyx+iy=0-x-iy-x+iy=0
2x=0-2x=0
Ainsi :
x=0x=0
. Ici, ATTENTION, il n'y a pas qu'une solution. En effet, n'oublions que nous avons posé z=x+iyz=x+iy et comme x=0x=0 alors z=iyz=iy. Cela signifie que toutes les solutions de l'équation z=z-z=\overline{z} sont situés sur l'axe des ordonnées c'est à dire la droite d'équation x=0x=0.
Question 7
Pour les questions 77 et 88, on définit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy , on note : Z=2z23izZ=2z^{2}-3iz.

La partie réelle de ZZ est alors : Re(Z)=2x2+2y2+3Re\left(Z\right)=2x^{2} +2y^{2}+3.

Correction
 La proposition est FAUSSE. \red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}
On pose z=x+iyz=x+iy. Ainsi
Z=2(x+iy)23i(x+iy)Z=2\left(x+iy\right)^{2} -3i\left(x+iy\right) équivaut successivement à :
Z=2(x2+2ixy+i2y2)3ix3i2yZ=2\left(x^{2} +2ixy+i^{2} y^{2} \right)-3ix-3i^{2} y
Z=2(x2+2ixyy2)3ix+3yZ=2\left(x^{2} +2ixy-y^{2} \right)-3ix+3y
Z=2x2+4ixy2y23ix+3yZ=2x^{2} +4ixy-2y^{2} -3ix+3y
Z=2x22y2+3y+i(3x+4xy)Z=2x^{2} -2y^{2}+3y +i\left(-3x+4xy\right)

Ainsi la partie réelle est notée
Re(Z)=2x22y2+3yRe\left(Z\right)=2x^{2} -2y^{2}+3y
et la partie imaginaire est notée
Im(Z)=3x+4xyIm\left(Z\right)=-3x+4xy
Question 8

L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est un cercle.

Correction
 La proposition est FAUSSE. \red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}
ZZ est un réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Donc Im(Z)=3x+4xy=0Im\left(Z\right)=-3x+4xy=0
3x+4xy=0-3x+4xy=0 équivaut à x(3+4y)=0x\left(-3+4y\right)=0 ( équation produit nul )
x=0 ou 3+4y=0x=0{\text{ ou }} -3+4y=0.
Finalement :
x=0 ou y=34x=0{\text{ ou }}y=\frac{3}{4}

L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est donc la réunion de la droite des ordonnées et la droite horizontale d'équation y=34y=\frac{3}{4} .
Question 9
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u;v)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right)
Soient les points AA, BB et CC d'affixes respectives : zA=3+2iz_{A} =-3+2i , zB=3+iz_{B} =3+i et zC=9+3iz_{C} =-9+3i.

Les points AA, BB et CC sont alignés.

Correction
 La proposition est VRAIE. \red{\text{ La proposition est VRAIE. }}
Calculons d'une part :
zAB=zBzAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}
zAB=3+i(3+2i)z_{\overrightarrow{AB} }=3+i-\left(-3+2i\right)
zAB=3+i+32iz_{\overrightarrow{AB} }=3+i+3-2i
zAB=6iz_{\overrightarrow{AB} }=6-i

Calculons d'autre part :
zBC=zCzBz_{\overrightarrow{BC} }=z_{C}-z_{B}
zBC=9+3i(3+i)z_{\overrightarrow{BC} }=-9+3i-\left(3+i\right)
zBC=9+3i3iz_{\overrightarrow{BC} }=-9+3i-3-i
zBC=12+2iz_{\overrightarrow{BC} }=-12+2i

On remarque que : zBC=2×zABz_{\overrightarrow{BC} }=-2\times z_{\overrightarrow{AB} }
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et BC\overrightarrow{BC} sont colinéaires donc les points AA, BB et CC sont alignés.