Les nombres complexes

QCM

Exercice 1

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Les réponses doivent être justifiées.
1

L'inverse de 1+i3i\frac{1+i}{3-i} est 12i1-2i.

Correction
2

Pour tout entier naturel nn, (1+i)4n=(4)n\left(1+i\right)^{4n} =\left(-4\right)^{n}

Correction
3

Pour tout nombre complexe zz, le conjugué de (z+i)\left(z+i\right) est ziz-i

Correction
Pour les questions 44 et 55, on définit zz un nombre complexe différent de 2-2, on note : z=z1z+2z'=\frac{z-1}{z+2}.
4

si z=iz=-i alors z=15+35iz'=-\frac{1}{5} +\frac{3}{5} i

Correction
5

si z=iz'=-i alors z=12+32iz=-\frac{1}{2} +\frac{3}{2} i

Correction
6

Soit zCz\in \mathbb{C} . L'équation z=z-z=\overline{z} admet une unique solution.

Correction
Pour les questions 77 et 88, on définit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy , on note : Z=2z23izZ=2z^{2}-3iz.
7

La partie réelle de ZZ est alors : Re(Z)=2x2+2y2+3Re\left(Z\right)=2x^{2} +2y^{2}+3.

Correction
8

L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est un cercle.

Correction
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u;v)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right)
Soient les points AA, BB et CC d'affixes respectives : zA=3+2iz_{A} =-3+2i , zB=3+iz_{B} =3+i et zC=9+3iz_{C} =-9+3i.
9

Les points AA, BB et CC sont alignés.

Correction

Exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Il est bien sur demandé de justifier :)
1

On considère le nombre complexe z=3i5z=-\sqrt{3} -i\sqrt{5}. Alors zzz\overline{z} est égale à :
  • 3+5i3+5i
  • 35i-3-5i
  • 8-8
  • 88

Correction
2

On considère le nombre complexe zB=2eiπ3z_{B} =-2e^{i\frac{\pi }{3} }. Alors arg(zB)=\arg \left(z_{B} \right)=
  • π3\frac{\pi }{3}
  • π3-\frac{\pi }{3}
  • 4π3\frac{4\pi }{3}
  • 2π3-\frac{2\pi }{3}

Correction
3

S=1+i+i2+i3++i2017S=1+i+i^{2} +i^{3} +\ldots +i^{2017} est égale à :
  • 00
  • 11
  • 1+i1+i
  • 1i1-i

Correction
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