Les nombres complexes

Module et argument : sous forme de petits problèmes

Exercice 1

On considère les nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} définis par z1=1iz_{1}=1-i et z2=ei5π6z_{2}=e^{i\frac{5\pi }{6} }.
1

Déterminer une forme trigonométrique et une forme exponentielle de z1z_{1}.

Correction
2

Déterminer la forme algébrique de z2z_{2}.

Correction
Soit Z=z1×z2Z=z_{1}\times z_{2}
3

Déterminer la forme algébrique de ZZ.

Correction
4

Déterminer une forme trigonométrique et exponentielle de ZZ.

Correction
5

En déduire la valeur exacte de cos(7π12)\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right) et de sin(7π12)\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right).

Correction

Exercice 2

On donne les nombres complexes suivants z1=6i22z_{1} =\frac{\sqrt{6} -i\sqrt{2} }{2} et z2=1iz_{2} =1-i
1

Donner le module et un argument de z1,z2z_{1} ,z_{2} .

Correction
2

Donner le module et un argument de z1z2\frac{z_{1} }{z_{2} } .

Correction
3

Donner la forme algébrique de z1z2\frac{z_{1} }{z_{2} } .

Correction
4

En déduire que cos(π12)=6+24\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2} }{4} et sin(π12)=624\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}

Correction

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\vec{u} ;\vec{v} \right)
On considère trois points distincts AA, BB et CC, d’affixes zAz_{A} , zBz_{B} et zCz_{C}, tels que : zA=2iz_{A}=2i , zB=1+5iz_{B}=1+5i et zC=3+3iz_{C}=-3+3i.
1

Calculer : zCzAzBzA\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }

Correction
2

Donner la forme trigonométrique de zCzAzBzA\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{B} -z_{A} }.

Correction
3

En déduire la nature du triangle ABCABC.

Correction
4

Soit EE le milieu de [BC]\left[BC \right]. Déterminer l'affixe de EE.

Correction
5

Calculer la longueur [EB]\left[EB \right].

Correction
6

Déterminer l’ensemble HH des points MM d’affixe zz tel que : zzE=5\left|z-z_{E}\right|=\sqrt{5}

Correction
7

Pourquoi les points AA, BB et CC appartiennent à l’ensemble HH?

Correction

Exercice 4

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v)\left(O,\vec{u} ,\vec{v} \right) .
1

Résoudre l'équation iz=3+iiz=-\sqrt{3}+i. La solution devra être mise sous forme algébrique.

Correction
Soient AA, BB et CC les points dont les affixes respectives sont zA=2eiπ3z_{A} =2e^{i\frac{\pi }{3} } , zB=zAz_{B} =-z_{A} et zC=(zA)2z_{C} =\left(z_{A} \right)^{2}.
2

Déterminer une écriture exponentielle de zBz_{B}.

Correction
3

Déterminer une écriture exponentielle de zCz_{C}.

Correction
4

Donner l'écriture algébrique de zAz_{A} , zBz_{B} et zCz_{C}.

Correction
5

Montrer que le triangle ABCABC est un triangle rectangle dont on précisera le sommet.

Correction
Soit DD le point d'affixe zD=8zAz_{D} =\frac{8}{z_{A} }.
6

Quelle est alors la nature du quadrilatère ACBDACBD.

Correction
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