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Les nombres complexes
La forme conjuguée - Exercice 1
3 min
5
Formule du produit d'un complexe et de son conjugué.
Question 1
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
un complexe sous sa forme algébrique. On note
z
‾
\overline{z}
z
sa forme conjuguée. Calculer :
z
×
z
‾
z\times \overline{z}
z
×
z
.
Correction
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
un complexe sous sa forme algébrique alors sa forme conjugué
z
‾
\overline{z}
z
sera sous la forme :
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
z
×
z
‾
=
(
x
+
i
y
)
×
(
x
−
i
y
)
z\times \overline{z}=\left(x+iy\right)\times \left(x-iy\right)
z
×
z
=
(
x
+
i
y
)
×
(
x
−
i
y
)
z
×
z
‾
=
x
2
−
i
x
y
+
i
x
y
−
i
2
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} -ixy+ixy-i^{2} y^{2}
z
×
z
=
x
2
−
i
x
y
+
i
x
y
−
i
2
y
2
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
Il faut retenir que si l'on multiplie un complexe par son conjugué on obtiendra tout le temps
x
2
+
y
2
x^{2} +y^{2}
x
2
+
y
2
.
Autrement dit :
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
.