Les nombres complexes

Exercices types : Résolution d'équation

Exercice 1

Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants
On pose P(z)=z3(6+i)z2+βz13iP\left(z\right)=z^{3} -\left(6+i\right)z^{2} +\beta z-13iβ\beta est un nombre complexe.
1

Soit P(i)=0P\left(i\right)=0. Déterminer β\beta .

Correction
2

Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout complexe zz on ait P(z)=(zi)(z2+az+b)P\left(z\right)=\left(z-i\right)\left(z^{2} +az+b\right).

Correction
3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction

Exercice 2

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes.
On donnera les solutions sous forme algébrique.
1

3z2iz=53i3\overline{z}-2iz=5-3i

Correction
2

(23i)z+32i=2iz+4+10i\left(2-3i\right)z+3-2i=2iz+4+10i

Correction
3

z22z+10=0z^{2} -2z+10=0

Correction
4

2iz4=5i+4z2i\overline{z}-4=5i+4z

Correction

Exercice 3

1

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2+2z+6=0z^{2}+2z+6=0.

Correction
On considère l'équation z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0.
2

Montrer que 1-1 est solution de cette équation.

Correction
3

Trouver des réels aa et bb tels que z3+3z2+8z+6=(z+1)(z2+az+b)z^{3}+3z^{2}+8z+6=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right).

Correction
4

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0

Correction

Exercice 4

On pose P(z)=z3+(22i)z2+(34i)z6iP\left(z\right)=z^{3}+\left(2-2i\right)z^{2}+\left(3-4i\right)z-6i
1

Calculer P(2i)P\left(2i\right) .

Correction
2

Trouver des réels aa et bb tels que z3+(22i)z2+(34i)z6i=(z2i)(z2+az+b)z^{3}+\left(2-2i\right)z^{2}+\left(3-4i\right)z-6i=\left(z-2i\right)\left(z^{2}+az+b\right).

Correction
3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

Correction

Exercice 5

Pour tout nombre complexe zz, on note : P(z)=z33z2+3z+7P\left(z\right)=z^{3}-3z^{2}+3z+7
1

Calculer P(1)P\left(-1\right) .

Correction
2

Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout nombre complexe zz, on ait : P(z)=(z+1)(z2+az+b)P\left(z\right)=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right).

Correction
3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction

Exercice 6

On considère les points AA, BB, CC et DD d'affixes respectifs zA=3+iz_{A} =-3+i, zB=12iz_{B} =-1-2i, zC=6z_{C} =6 et zD=4+3iz_{D} =4+3i.
1

Déterminer les affixes des vecteurs AB\vec{AB} et DC\vec{DC} .

Correction
2

Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?

Correction
3

Déterminer l'affixe du point EE tel que CEDBCEDB soit un parallélogramme.

Correction
4

Que représente le point BB pour le segment [AE]\left[AE\right] ?

Correction
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