Les nombres complexes

Exercices types : Module et argument vu au bac...

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\vec{u} ;\vec{v} \right)
On note AA le point d'affixe 2+3i2+3i et BB celui d'affixe 4+5i-4+5i.
A tout point MM d'affixe zz autre que BB, on associe le nombre complexe : Z=z23iz+45iZ'=\frac{z-2-3i}{z+4-5i}.
1

Donner une signification géométrique de Z\left|Z'\right| à l'aide des points AA, BB et MM.

Correction
2

Donner une signification géométrique de arg(Z)\arg \left(Z'\right) à l'aide des points AA, BB et MM.

Correction
Déterminer les ensembles suivants :
3

EE l'ensemble des points MM tels que Z=1\left|Z'\right|=1.

Correction
4

FF l'ensemble des points MM tels que ZZ' est un réel strictement positif.

Correction
5

GG l'ensemble des points MM tels que ZZ' est un imaginaire pur non nul.

Correction

Exercice 2

On considère les nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} définis par z1=321+iz_{1}=\frac{3\sqrt{2} }{1+i} et z2=4i1+i3z_{2}=\frac{4i}{1+i\sqrt{3} }.
1

Ecrire z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique.

Correction
2

Ecrire z1z_{1} sous forme trigonométrique et également sous forme exponentielle.

Correction
3

Ecrire z2z_{2} sous forme trigonométrique et également sous forme exponentielle.

Correction
Soit Z=z1×z2Z=z_{1}\times z_{2}
4

Déterminer la forme algébrique de ZZ.

Correction
5

Déterminer une forme trigonométrique et exponentielle de ZZ.

Correction
6

En déduire la valeur exacte de cos(π12)\cos \left(\frac{\pi }{12} \right) et de sin(π12)\sin \left(\frac{\pi }{12} \right).

Correction
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