Exercices types : Encore des classiques - Exercice 1
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Question 1
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct. On considère l’équation (E) : z4+2z3−z−2=0 ayant pour inconnue le nombre complexe z.
Donner une solution entière de (E) .
Correction
Il faut chercher par tâtonnement. Il faut tester des valeurs entières le plus souvent. Avec 0, cela ne marche pas. Mais avec 1 oui cela fonctionne. z=1 est une solution évidente. En effet : 14+2×13−1−2=1+2−1−2=0
Question 2
Démontrer que, pour tout nombre complexe z, on a : z4+2z3−z−2=(z2+z−2)(z2+z+1)
Correction
Nous allons développer l'expression (z2+z−2)(z2+z+1) . (z2+z−2)(z2+z+1)=z2×z2+z2×z+z2×1+z×z2+z×z+z×1−2×z2−2×z−2×1 équivaut successivement à : (z2+z−2)(z2+z+1)=z4+z3+z2+z3+z2+z−2z2−2z−2
(z2+z−2)(z2+z+1)=z4+2z3−z−2
Question 3
Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
Correction
z4+2z3−z−2=0⇔(z2+z−2)(z2+z+1)=0 Il s'agit donc d'une équation produit nul. z2+z−2=0 ou z2+z+1=0
Résolution de l'équation z2+z−2=0 .
Δ=9, il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1et z2 tels que z1=2a−b−−Δ et z2=2a−b+−Δ
z1=−2
et
z2=1
Résolution de l'équation z2+z+1=0 .
Δ=−3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z3 et z4 tels que z3=2a−b−i−Δ et z4=2a−b+i−Δ
z3=2−1−i3
et
z4=2−1+i3
Finalement les solutions de l'équation (E) sont : S={−2;1;2−1−i3;2−1+i3}
Question 4
Les solutions de l’équation (E) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé.
Le quadrilatère ABCD est-il un losange? Justifier.
Correction
Les solutions de l’équation (E) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé. Nous choisissons ainsi : zA=−2 ; zB=2−1−i3 ; zC=1 et zD=2−1+i3. Nous représentons ce quadrilatère ci-dessous : On remarque que : 2zA+zC=−21 et 2zB+zD=−21. Cela signifie que les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. De ce fait le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Vérifions maintenant si deux cotés consécutifs sont égaux. AB=∣zB−zA∣⇔AB=∣∣−21−i23−(−2)∣∣⇔AB=∣∣−21−i23+2∣∣⇔AB=∣∣23−i23∣∣ D'où : AB=(23)2+(−23)2⇔