On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (0;u;v). On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2π. On considère les points A,B et C du plan complexe d’affixes respectives zA, zB et zC : zA=i2+i2 ; zB=2ei3π ; zC=−2ie−i6π
Question 1
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.
La forme algébrique de zA est zA=2−i2
Correction
La proposition est VRAIE. On commence par multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. zA=i×(−i)(2+i2)×(−i) zA=−i22×(−i)+i2×(−i) zA=1−2i−i22
zA=−2i+2
Question 2
Un argument de zC est 6π .
Correction
La proposition est FAUSSE. Nous savons que zC=−2ie−i6π. Ici, ce n'est pas une forme exponentielle car devant l'exponentielle nous avons −2i.Il va falloir donner l'écriture exponentielle de −2i.
Ce sont ci-dessous des valeurs remarquables à retenir :
ei0=1
eiπ=−1
ei2π=i
e−i2π=−i
Ainsi : −2i=2e−i2π zC=−2ie−i6π peut également écrire : zC=2×e−i2π×e−i6π zC=2×ei(−2π−6π) zC=2×ei(−63π−6π) zC=2×ei(−64π) zC=2e−i32π. Il s'agit bien ici d'une forme exponentielle. Il en résulte donc que :
arg(zC)=−32π[2π]
Question 3
Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
Correction
La proposition est VRAIE.
Nous savons que zB=2ei3π. Le module de zB est égale à 2. Géométriquement, cela signifie que :
OB=2
.
De plus, d'après la question précédente, nous avons vu que zC=2e−i32π . Le module de zC est égale à 2. Géométriquement, cela signifie que :
OC=2
.
Calculons pour finir le module de zA .
∣zA∣=(2)2+(−2)2⇔∣zA∣=2+2⇔∣zA∣=4⇔∣zA∣=2 . Le module de zA est égale à 2. Géométriquement, cela signifie que :
OA=2
Donc OA=OB=OC=2 donc les trois points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.
Question 4
O est le milieu du segment [BC].
Correction
La proposition est VRAIE. Dans un premier temps, nous allons donner la forme algébrique de zB et zC .
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
zB=2ei3π équivaut successivement à : zB=2(cos(3π)+isin(3π)) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus. zB=2×(21+i23) zB=2×21+2×23i
zB=1+i3
Faisons de même avec zC . zC=2e−i32π équivaut successivement à : zC=2(cos(−32π)+isin(−32π)) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus. zC=2×(−21−i23)
zC=−1−i3
Or : 2zB+zC=2(1+i3)+(−1−i3) 2zB+zC=0 Le point O est bien le milieu du segment [BC].