Les nombres complexes

Exercice 7 - Exercice 1

1 min
0
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (0;u;v)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right).
On note ii le nombre complexe de module 11 et d’argument π2\frac{\pi}{2}.
On considère les points AA,BB et CC du plan complexe d’affixes respectives zAz_{A}, zBz_{B} et zCz_{C} :
zA=2+i2iz_{A} =\frac{\sqrt{2} +i\sqrt{2} }{i} ; zB=2eiπ3z_{B} =2e^{i\frac{\pi }{3} } ; zC=2ieiπ6z_{C} =-2ie^{-i\frac{\pi }{6} }
Question 1
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.

La forme algébrique de zAz_{A} est zA=2i2z_{A}=\sqrt{2} -i\sqrt{2}

Correction
La proposition est VRAIE.
On commence par multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
zA=(2+i2)×(i)i×(i)z_{A} =\frac{\left(\sqrt{2} +i\sqrt{2} \right)\times \left(-i\right)}{i\times \left(-i\right)}
zA=2×(i)+i2×(i)i2z_{A} =\frac{\sqrt{2} \times \left(-i\right)+i\sqrt{2} \times \left(-i\right)}{-i^{2} }
zA=2ii221z_{A} =\frac{-\sqrt{2} i-i^{2} \sqrt{2} }{1}
zA=2i+2z_{A} =-\sqrt{2} i+\sqrt{2}

Question 2

Un argument de zCz_{C} est π6\frac{\pi }{6} .

Correction
La proposition est FAUSSE.
Nous savons que zC=2ieiπ6z_{C} =-2ie^{-i\frac{\pi }{6} }. Ici, ce n'est pas une forme exponentielle car devant l'exponentielle nous avons 2i-2i.Il va falloir donner l'écriture exponentielle de 2i-2i.

Ce sont ci-dessous des valeurs remarquables à retenir :
  • ei0=1e^{i0 }=1
  • eiπ=1e^{i\pi }=-1
  • eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2} }=i
  • eiπ2=ie^{-i\frac{\pi}{2} }=-i
Ainsi : 2i=2eiπ2-2i=2e^{-i\frac{\pi}{2} }
zC=2ieiπ6z_{C} =-2ie^{-i\frac{\pi }{6} } peut également écrire :
zC=2×eiπ2×eiπ6z_{C} =2\times e^{-i\frac{\pi }{2} } \times e^{-i\frac{\pi }{6} }
zC=2×ei(π2π6)z_{C} =2\times e^{i\left(-\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{6} \right)}
zC=2×ei(3π6π6)z_{C} =2\times e^{i\left(-\frac{3\pi }{6} -\frac{\pi }{6} \right)}
zC=2×ei(4π6)z_{C} =2\times e^{i\left(-\frac{4\pi }{6} \right)}
zC=2ei2π3z_{C} =2e^{-i\frac{2\pi }{3} }. Il s'agit bien ici d'une forme exponentielle.
Il en résulte donc que :
arg(zC)=2π3[2π]\arg \left(z_{C}\right)=-\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]

Question 3

Les points AA, BB et CC sont sur un même cercle de centre OO.

Correction
La proposition est VRAIE.
  • Nous savons que zB=2eiπ3z_{B} =2e^{i\frac{\pi }{3} }. Le module de zBz_{B} est égale à 22. Géométriquement, cela signifie que :
    OB=2OB=2
    .
  • De plus, d'après la question précédente, nous avons vu que zC=2ei2π3z_{C} =2e^{-i\frac{2\pi }{3} } . Le module de zCz_{C} est égale à 22. Géométriquement, cela signifie que :
    OC=2OC=2
    .
  • Calculons pour finir le module de zAz_{A} .
  • zA=(2)2+(2)2zA=2+2zA=4zA=2\left|z_{A} \right|=\sqrt{\left(\sqrt{2} \right)^{2} +\left(-\sqrt{2} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{A} \right|=\sqrt{2+2} \Leftrightarrow \left|z_{A} \right|=\sqrt{4} \Leftrightarrow \left|z_{A} \right|=2 . Le module de zAz_{A} est égale à 22. Géométriquement, cela signifie que :
    OA=2OA=2

    Donc OA=OB=OC=2OA =OB=OC=2 donc les trois points AA, BB et CC sont sur le cercle de centre OO et de rayon 22.
    Question 4

    OO est le milieu du segment [BC]\left[BC\right].

    Correction
    La proposition est VRAIE.
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme algébrique de zBz_{B} et zCz_{C} .

    Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
    zB=2eiπ3z_{B} =2e^{i\frac{\pi }{3} } équivaut successivement à :
    zB=2(cos(π3)+isin(π3))z_{B}=2\left(\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)+i\sin \left(\frac{\pi}{3} \right)\right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
    zB=2×(12+i32)z_{B}=2\times\left(\frac{1 }{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2}\right)
    zB=2×12+2×32iz_{B} =2\times \frac{1 }{2} +2\times \frac{\sqrt{3} }{2} i
    zB=1+i3z_{B} =1 +i\sqrt{3}

    Faisons de même avec zCz_{C} .
    zC=2ei2π3z_{C} =2e^{-i\frac{2\pi }{3} } équivaut successivement à :
    zC=2(cos(2π3)+isin(2π3))z_{C}=2\left(\cos \left(-\frac{2\pi}{3} \right)+i\sin \left(-\frac{2\pi}{3} \right)\right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
    zC=2×(12i32)z_{C}=2\times\left(-\frac{1 }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2}\right)
    zC=1i3z_{C} =-1 -i\sqrt{3}

    Or :
    zB+zC2=(1+i3)+(1i3)2\frac{z_{B} +z_{C} }{2} =\frac{\left(1+i\sqrt{3} \right)+\left(-1-i\sqrt{3} \right)}{2}
    zB+zC2=0\frac{z_{B} +z_{C} }{2} =0
    Le point OO est bien le milieu du segment [BC]\left[BC\right].