Les nombres complexes

Exercice 5 - Exercice 1

1 min
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On considère les nombres complexes znz_{n} définis, pour tout entier naturel nn, par : z0=1z_{0} =1 et zn+1=(1+i33)znz_{n+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)z_{n}
On note AnA_{n} le point d'affixe znz_{n} dans le repère orthonormé (0;u;v)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right) donné ci-dessous.
L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points AnA_{n} .
Question 1

Vérifier que 1+i33=23eiπ61+i\frac{\sqrt{3} }{3} =\frac{2}{\sqrt{3} } e^{i\frac{\pi }{6} } .

Correction
On commence par calculer le module de 1+i331+i\frac{\sqrt{3} }{3} .
Il vient :
1+i33=(1)2+(33)2\left|1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right|=\sqrt{\left(1\right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{3} \right)^{2} }
1+i33=43=23\left|1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right|=\sqrt{\frac{4}{3} } =\frac{2}{\sqrt{3} }
Calculons maintenant un argument θ\theta de 1+i331+i\frac{\sqrt{3} }{3} tel que :
{cos(θ)=1(23)sin(θ)=33(23)\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\frac{\sqrt{3} }{3} }{\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)} } \end{array}\right. qui se simplifie comme {cos(θ)=32sin(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right. donc θ=π6+2kπ\theta =\frac{\pi }{6} +2k\pi kZk\in Z
Question 2

En déduire z1z_{1} et z2z_{2} sous forme exponentielle.

Correction
D'une part :
z1=(1+i33)×z0z_{1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\times z_{0} équivaut successivement à
z1=(1+i33)×1z_{1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\times 1
z1=1+i33z_{1} =1+i\frac{\sqrt{3} }{3}
Ainsi :
z1=23eiπ6z_{1} =\frac{2}{\sqrt{3} } e^{i\frac{\pi }{6} }

D'autre part :
z2=(1+i33)×z1z_{2} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\times z_{1} équivaut successivement à
z2=(1+i33)(1+i33)z_{2} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)
z2=(23eiπ6)(23eiπ6)z_{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } e^{i\frac{\pi }{6} } \right)\left(\frac{2}{\sqrt{3} } e^{i\frac{\pi }{6} } \right)
z2=43ei(π6+π6)z_{2} =\frac{4}{3} e^{i\left(\frac{\pi }{6} +\frac{\pi }{6} \right)}
z2=43eiπ3z_{2} =\frac{4}{3} e^{i\frac{\pi }{3} }
Question 3

Montrer que pour tout entier naturel nn, zn=(23)neinπ6z_{n} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} e^{in\frac{\pi }{6} } .

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:zn=(23)neinπ6P_{n} :z_{n} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} e^{in\frac{\pi }{6} } .
Etape d'initialisation
On sait que pour n=0n=0 , on a z0=1z_{0} =1 et z0=(23)0ei0×π6=1z_{0} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{0} e^{i0\times \frac{\pi }{6} } =1.
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d'hérédité
Soit kk un entier naturel.
On suppose qu'à partir d'un certain rang kk, la propriété PkP_{k} est vraie c'est-à-dire : zk=(23)keikπ6z_{k} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{k} e^{ik\frac{\pi }{6} } et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire zk+1=(23)k+1ei(k+1)π6z_{k+1} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{k+1} e^{i\left(k+1\right)\frac{\pi }{6} } .
Or on sait que :
zk+1=(1+i33)zkz_{k+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)z_{k} .
Par hypothèse de récurrence : zk=(23)keikπ6z_{k} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{k} e^{ik\frac{\pi }{6} } .
Ainsi :
zk+1=(1+i33)(23)keikπ6z_{k+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{k} e^{ik\frac{\pi }{6} } ~. Or 1+i33=23eiπ61+i\frac{\sqrt{3} }{3} =\frac{2}{\sqrt{3} } e^{i\frac{\pi }{6} } . Il vient alors que
zk+1=(23eiπ6)(23)keikπ6z_{k+1} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } e^{i\frac{\pi }{6} } \right)\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{k} e^{ik\frac{\pi }{6} }
Ainsi : zk+1=(23)k+1ei(k+1)π6z_{k+1} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{k+1} e^{i\left(k+1\right)\frac{\pi }{6} }
La propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien zn=(23)neinπ6z_{n} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} e^{in\frac{\pi }{6} } .
Question 4

Pour quelles valeurs de nn, les points OO, A0A_{0} et AnA_{n} sont-ils alignés ?

Correction
Les points O d'affixe 0, et A0A_{0} d'affixe z0=1z_{0} =1 sont situés sur l'axe des réels.
Donc les points OO , A0A_{0} et AnA_{n} sont alignés si le point AnA_{n} est sur l'axe des réels, autrement dit si son affixe est réelle, donc si son argument vautkπk\pi avec kZk\in Z.
Or zn=(23)neinπ6z_{n} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} e^{in\frac{\pi }{6} } , donc un argument de znz_{n} est nπ6\frac{n\pi }{6} .
Il faut alors que nπ6=kπ\frac{n\pi }{6} =k\pi ce qui équivaut à n=6kn=6kkZk\in Z.
Les points OO , A0A_{0} et AnA_{n} sont alignés si nn est un multiple de 66.
Question 5
Pour tout entier naturel nn, on pose dn=zn+1znd_{n} =\left|z_{n+1} -z_{n} \right|

Interpréter géométriquement dnd_{n} .

Correction
dn=zn+1znd_{n} =\left|z_{n+1} -z_{n} \right| donc dnd_{n} représente la distance entre les points AnA_{n} et An+1A_{n+1} .
Ainsi : dn=AnAn+1d_{n} =A{}_{n} A_{n+1}
Question 6

Calculer d0d_{0} .

Correction
d0=z1z0d_{0} =\left|z_{1} -z_{0} \right| équivaut successivement à
d0=1+i331d_{0} =\left|1+i\frac{\sqrt{3} }{3} -1\right|
d0=i33d_{0} =\left|i\frac{\sqrt{3} }{3} \right|
d0=33d_{0} =\frac{\sqrt{3} }{3}
Question 7

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, zn+2zn+1=(1+i33)(zn+1zn)z_{n+2} -z_{n+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\left(z_{n+1} -z_{n} \right).

Correction
zn+2=(1+i33)zn+1z_{n+2} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)z_{n+1} et zn+1=(1+i33)znz_{n+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)z_{n} .
Ainsi :
zn+2zn+1=(1+i33)zn+1(1+i33)znz_{n+2} -z_{n+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)z_{n+1} -\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)z_{n}
Enfin :
zn+2zn+1=(1+i33)(zn+1zn)z_{n+2} -z_{n+1} =\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\left(z_{n+1} -z_{n} \right)
Question 8

En déduire que la suite (dn)\left(d_{n} \right) est géométrique puis que pour tout entier naturel nn on a dn=33(23)nd_{n} =\frac{\sqrt{3} }{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} .

Correction
On a :
dn=zn+1znd_{n} =\left|z_{n+1} -z_{n} \right|
dn+1=zn+2zn+1d_{n+1} =\left|z_{n+2} -z_{n+1} \right|
dn+1=(1+i33)(zn+1zn)d_{n+1} =\left|\left(1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right)\left(z_{n+1} -z_{n} \right)\right|
dn+1=1+i33×zn+1znd_{n+1} =\left|1+i\frac{\sqrt{3} }{3} \right|\times \left|z_{n+1} -z_{n} \right| car ab=a×b\left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|
dn+1=23dnd_{n+1} =\frac{2}{\sqrt{3} } d_{n}

De plus, on sait que d0=33d_{0} =\frac{\sqrt{3} }{3} .
Ainsi la suite (dn)\left(d_{n} \right) est géométrique de premier terme d0=33d_{0} =\frac{\sqrt{3} }{3} et de raison q=23q=\frac{2}{\sqrt{3} } .
L'expression de dnd_{n} en fonction de nn est : dn=d0×qnd_{n} =d_{0} \times q^{n}
Ainsi :
dn=33(23)nd_{n} =\frac{\sqrt{3} }{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n}
Question 9

Montrer que pour tout entier naturel nn, zn+12=zn2+dn2\left|z_{n+1} \right|^{2} =\left|z_{n} \right|^{2} +d_{n}^{2} .

Correction
Pour tout entier naturel nn,
D'une part :
zn=(23)neinπ6\left|z_{n} \right|=\left|\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} e^{in\frac{\pi }{6} } \right| donc zn=(23)n\left|z_{n} \right|=\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} donc zn2=((23)n)2=(23)2n\left|z_{n} \right|^{2} =\left(\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} \right)^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n} .
D'autre part :
zn+12=(23)2(n+1)\left|z_{n+1} \right|^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2\left(n+1\right)} équivaut successivement à
zn+12=(23)2n+2\left|z_{n+1} \right|^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n+2}
zn+12=(23)2×(23)2n\left|z_{n+1} \right|^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2} \times \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
zn+12=43(23)2n\left|z_{n+1} \right|^{2} =\frac{4}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
Enfin
dn=33(23)nd_{n} =\frac{\sqrt{3} }{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} donc dn2=(33(23)n)2d_{n}^{2} =\left(\frac{\sqrt{3} }{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} \right)^{2} d'où dn2=(33)2×((23)n)2d_{n}^{2} =\left(\frac{\sqrt{3} }{3} \right)^{2} \times \left(\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{n} \right)^{2}
Ainsi,
dn2=13(23)2nd_{n}^{2} =\frac{1}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
On récapitule :
  • zn2=(23)2n\left|z_{n} \right|^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
  • zn+12=43(23)2n\left|z_{n+1} \right|^{2} =\frac{4}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
  • dn2=13(23)2nd_{n}^{2} =\frac{1}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}

Ainsi :
zn2+dn2=(23)2n+13(23)2n\left|z_{n} \right|^{2} +d_{n}^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n} +\frac{1}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
zn2+dn2=(23)2n×(1+13)\left|z_{n} \right|^{2} +d_{n}^{2} =\left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n} \times \left(1+\frac{1}{3} \right)
zn2+dn2=43(23)2n\left|z_{n} \right|^{2} +d_{n}^{2} =\frac{4}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
zn+12=43(23)2n\left|z_{n+1} \right|^{2} =\frac{4}{3} \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \right)^{2n}
Donc pour tout entier naturel nn, zn+12=zn2+dn2\left|z_{n+1} \right|^{2} =\left|z_{n} \right|^{2} +d_{n}^{2} .
Question 10

En déduire que, pour tout entier naturel nn, le triangle OAnAn+1OA_{n} A_{n+1} est rectangle en AnA_{n} .

Correction
On sait que :
  • zn+1=OAn+1\left|z_{n+1} \right|=OA_{n+1}
  • zn=OAn\left|z_{n} \right|=OA_{n}
  • dn=AnAn+1d_{n} =A{}_{n} A_{n+1}
Or zn+12=zn2+dn2\left|z_{n+1} \right|^{2} =\left|z_{n} \right|^{2} +d_{n}^{2} , cela équivaut à (OAn+1)2=(OAn)2+(AnAn+1)2\left(OA_{n+1} \right)^{2} =\left(OA_{n} \right)^{2} +\left(A_{n} A_{n+1} \right)^{2} .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAnAn+1OA_{n} A_{n+1} est rectangle en AnA_{n} .