On considère les nombres complexes zn définis, pour tout entier naturel n, par : z0=1 et zn+1=(1+i33)zn On note An le point d'affixe zn dans le repère orthonormé (0;u;v) donné ci-dessous. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points An.
Question 1
Vérifier que 1+i33=32ei6π.
Correction
On commence par calculer le module de 1+i33. Il vient : ∣∣1+i33∣∣=(1)2+(33)2 ∣∣1+i33∣∣=34=32 Calculons maintenant un argument θ de 1+i33 tel que : ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==(32)1(32)33 qui se simplifie comme {cos(θ)sin(θ)==2321 donc θ=6π+2kπ où k∈Z
Question 2
En déduire z1 et z2 sous forme exponentielle.
Correction
D'une part : z1=(1+i33)×z0 équivaut successivement à z1=(1+i33)×1 z1=1+i33 Ainsi :
z1=32ei6π
D'autre part : z2=(1+i33)×z1 équivaut successivement à z2=(1+i33)(1+i33) z2=(32ei6π)(32ei6π) z2=34ei(6π+6π)
z2=34ei3π
Question 3
Montrer que pour tout entier naturel n, zn=(32)nein6π.
Correction
Pour tout entier naturel n, posons la propriété Pn:zn=(32)nein6π . Etape d'initialisation On sait que pour n=0 , on a z0=1 et z0=(32)0ei0×6π=1. La propriété P0 est vraie. Etape d'hérédité Soit k un entier naturel. On suppose qu'à partir d'un certain rang k, la propriété Pk est vraie c'est-à-dire : zk=(32)keik6π et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1 c'est-à-dire zk+1=(32)k+1ei(k+1)6π. Or on sait que : zk+1=(1+i33)zk . Par hypothèse de récurrence : zk=(32)keik6π. Ainsi : zk+1=(1+i33)(32)keik6π~. Or 1+i33=32ei6π. Il vient alors que zk+1=(32ei6π)(32)keik6π Ainsi : zk+1=(32)k+1ei(k+1)6π La propriété Pk+1est vraie. Conclusion Puisque la propriété P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, on a Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel n, on a bien zn=(32)nein6π .
Question 4
Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés ?
Correction
Les points O d'affixe 0, et A0 d'affixe z0=1 sont situés sur l'axe des réels. Donc les points O , A0 et An sont alignés si le point Anest sur l'axe des réels, autrement dit si son affixe est réelle, donc si son argument vautkπ avec k∈Z. Or zn=(32)nein6π, donc un argument de zn est 6nπ. Il faut alors que 6nπ=kπ ce qui équivaut à n=6k où k∈Z. Les points O , A0 et An sont alignés si n est un multiple de 6.
Question 5
Pour tout entier naturel n, on pose dn=∣zn+1−zn∣
Interpréter géométriquement dn.
Correction
dn=∣zn+1−zn∣ donc dn représente la distance entre les points Anet An+1. Ainsi : dn=AnAn+1
Question 6
Calculer d0.
Correction
d0=∣z1−z0∣ équivaut successivement à d0=∣∣1+i33−1∣∣ d0=∣∣i33∣∣
d0=33
Question 7
Montrer que pour tout entier naturel n non nul, zn+2−zn+1=(1+i33)(zn+1−zn).
Correction
zn+2=(1+i33)zn+1 et zn+1=(1+i33)zn. Ainsi : zn+2−zn+1=(1+i33)zn+1−(1+i33)zn Enfin :
zn+2−zn+1=(1+i33)(zn+1−zn)
Question 8
En déduire que la suite (dn) est géométrique puis que pour tout entier naturel n on a dn=33(32)n.
Correction
On a : dn=∣zn+1−zn∣ dn+1=∣zn+2−zn+1∣ dn+1=∣∣(1+i33)(zn+1−zn)∣∣ dn+1=∣∣1+i33∣∣×∣zn+1−zn∣ car ∣ab∣=∣a∣×∣b∣
dn+1=32dn
De plus, on sait que d0=33. Ainsi la suite (dn) est géométrique de premier terme d0=33 et de raison q=32. L'expression de dn en fonction de n est : dn=d0×qn Ainsi :
dn=33(32)n
Question 9
Montrer que pour tout entier naturel n, ∣zn+1∣2=∣zn∣2+dn2 .
Correction
Pour tout entier naturel n, D'une part : ∣zn∣=∣∣(32)nein6π∣∣ donc ∣zn∣=(32)ndonc ∣zn∣2=((32)n)2=(32)2n. D'autre part : ∣zn+1∣2=(32)2(n+1) équivaut successivement à ∣zn+1∣2=(32)2n+2 ∣zn+1∣2=(32)2×(32)2n ∣zn+1∣2=34(32)2n Enfin dn=33(32)n donc dn2=(33(32)n)2 d'où dn2=(33)2×((32)n)2 Ainsi, dn2=31(32)2n On récapitule :
∣zn∣2=(32)2n
∣zn+1∣2=34(32)2n
dn2=31(32)2n
Ainsi : ∣zn∣2+dn2=(32)2n+31(32)2n ∣zn∣2+dn2=(32)2n×(1+31) ∣zn∣2+dn2=34(32)2n ∣zn+1∣2=34(32)2n Donc pour tout entier naturel n, ∣zn+1∣2=∣zn∣2+dn2 .
Question 10
En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OAnAn+1 est rectangle en An.
Correction
On sait que :
∣zn+1∣=OAn+1
∣zn∣=OAn
dn=AnAn+1
Or ∣zn+1∣2=∣zn∣2+dn2, cela équivaut à (OAn+1)2=(OAn)2+(AnAn+1)2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAnAn+1 est rectangle en An.