Les nombres complexes

Equations du second degré - Exercice 1

25 min
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Résoudre dans C\mathbb{C} les équations du second degré ci-dessous.
Question 1

z2=−z−1z^{2} =-z-1

Correction

Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • z2=−z−1z^{2} =-z-1, on écrit l'équation sous la forme z2+z+1=0z^{2} +z+1=0
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−1−i32z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{3} }{2}
    et
    z2=−1+i32z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{3} }{2}

    Donc S={−1−i32;−1+i32}S=\left\{\frac{-1-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{-1+i\sqrt{3} }{2} \right\}
    Question 2

    2z2−2z+3=02z^{2} -2z+3=0

    Correction

    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−20\Delta =-20, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=2−i204z_{1} =\frac{2-i\sqrt{20} }{4} d'où
    z1=12−i52z_{1} =\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{5} }{2}

    z2=2+i204z_{2} =\frac{2+i\sqrt{20} }{4} d'où
    z2=12+i52z_{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{5} }{2}

    Donc S={12−i52;12+i52}S=\left\{\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{5} }{2} ;\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{5} }{2} \right\}
    Question 3

    z2−5z+9=0z^{2} -5z+9=0

    Correction

    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−11\Delta =-11, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    d'où
    z1=5−i112z_{1} =\frac{5-i\sqrt{11} }{2}

    d'où
    z2=5+i112z_{2} =\frac{5+i\sqrt{11} }{2}

    Donc S={5−i112;5+i112}S=\left\{\frac{5-i\sqrt{11} }{2} ;\frac{5+i\sqrt{11} }{2} \right\}
    Question 4

    −2z2+4z−2=0-2z^{2} +4z-2=0

    Correction

    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=0\Delta =0 et z0=−b2az_{0} =\frac{-b}{2a} c'est à dire z0=−42×(−2)z_{0} =\frac{-4}{2\times \left(-2\right)}
    Finalement la solution est
    z0=1z_{0} =1

    Donc S={1}S=\left\{1\right\}
    Question 5

    2z2+3=02z^{2} +3=0

    Correction

    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−24\Delta =-24, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−i244z_{1} =\frac{-i\sqrt{24} }{4} d'où
    z1=−i62z_{1} =-i\frac{\sqrt{6} }{2}

    z2=i244z_{2} =\frac{i\sqrt{24} }{4} d'où
    z2=i62z_{2} =i\frac{\sqrt{6} }{2}

    Donc S={−i62;i62}S=\left\{-i\frac{\sqrt{6} }{2} ;i\frac{\sqrt{6} }{2} \right\}
    Question 6

    Soit z≠0z\ne 0 , résoudre : z+1z=1z+\frac{1}{z} =1

    Correction
    Soit z≠0z\ne 0 , on a : z+1z=1z+\frac{1}{z} =1 . Nous allons multiplier de part et d'autre de l'inégalité par zz. Il vient alors que :
    z2+1=zz^{2} +1=z

    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • L'équation sous la forme z2−z+1=0z^{2} -z+1=0
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=1−i32z_{1} =\frac{1-i\sqrt{3} }{2}
    et
    z2=1+i32z_{2} =\frac{1+i\sqrt{3} }{2}

    Donc S={1−i32;1+i32}S=\left\{\frac{1-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{1+i\sqrt{3} }{2} \right\}
    Question 7

    Soit z≠2z\ne 2 , résoudre : z−3z−2=z\frac{z-3}{z-2} =z

    Correction
    z−3z−2=z\frac{z-3}{z-2} =z équivaut successivement à :
    z−3=z×(z−2)z-3=z\times \left(z-2\right)
    z−3=z2−2zz-3=z^{2} -2z
    z−3−z2+2z=0z-3-z^{2} +2z=0
    −z2+3z−3=0-z^{2} +3z-3=0
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−3−i3−2z_{1} =\frac{-3-i\sqrt{3} }{-2} d'où
    z1=3+i32z_{1} =\frac{3+i\sqrt{3} }{2}

    z2=−3+i3−2z_{2} =\frac{-3+i\sqrt{3} }{-2} d'où
    z2=3−i32z_{2} =\frac{3-i\sqrt{3} }{2}

    Donc S={3−i32;3+i32}S=\left\{\frac{3-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{3+i\sqrt{3} }{2} \right\}
    Question 8

    (z2−2z+5)(z2−4z+3)=0\left(z^{2} -2z+5\right)\left(z^{2} -4z+3\right)=0

    Correction
    C'est une équation produit nul donc z2−2z+5=0z^{2} -2z+5=0 ou z2−4z+3=0z^{2} -4z+3=0
    Calculons d'une part : z2−2z+5=0z^{2} -2z+5=0
    Δ=−16\Delta =-16, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=2−i162z_{1} =\frac{2-i\sqrt{16} }{2} d'où
    z1=1−2iz_{1} =1-2i

    z2=2+i162z_{2} =\frac{2+i\sqrt{16} }{2} d'où
    z2=1+2iz_{2} =1+2i

    Calculons d'autre part : z2−4z+3=0z^{2} -4z+3=0
    Δ=4\Delta =4, il existe donc deux racines réelles distinctes notées z3z_{3} et z4z_{4} tels que z3=−b−Δ2az_{3} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z4=−b+Δ2az_{4} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
    z3=1z_{3} =1
    et
    z4=3z_{4} =3

    Donc S={1−2i;1+2i;1;3}S=\left\{1-2i;1+2i;1;3\right\}
    Question 9

    z3+z2+5z=0z^{3} +z^{2} +5z=0

    Correction
    On va commencer par factoriser par zz.
    Ainsi z3+z2+5z=0⇔z(z2+z+5)=0z^{3} +z^{2} +5z=0\Leftrightarrow z\left(z^{2} +z+5\right)=0
    C'est une équation produit nul donc z=0z=0 ou z2+z+5=0z^{2} +z+5=0
    Calculons d'une part : z=0z=0 (équation évidente).
    Calculons d'autre part : z2+z+5=0z^{2} +z+5=0
    Δ=−19\Delta =-19, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−1−i192z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{19} }{2}
    et
    z2=−1+i192z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{19} }{2}

    Donc S={0;−1−i192;−1+i192}S=\left\{0;\frac{-1-i\sqrt{19} }{2} ;\frac{-1+i\sqrt{19} }{2} \right\}
    Question 10

    −sin⁡2(θ)z2−2cos⁡(θ)z+1=0-\sin ^{2} \left(\theta \right)z^{2} -2\cos \left(\theta \right)z+1=0

    Correction
    Il s'agit d'une équation du second degré . Nous avons donc : a=−sin⁡2(θ)a=-\sin ^{2} \left(\theta \right) ; b=−2cos⁡(θ)b=-2\cos \left(\theta \right) et c=1c=1 .
    Ainsi :
    Δ=(−2cos⁡(θ))2−4×(−sin⁡2(θ))\Delta =\left(-2\cos \left(\theta \right)\right)^{2} -4\times \left(-\sin ^{2} \left(\theta \right)\right)
    Δ=4cos⁡2(θ)+4sin⁡2(θ)\Delta =4\cos ^{2} \left(\theta \right)+4\sin ^{2} \left(\theta \right)
    Δ=4(cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ))\Delta =4\left(\cos ^{2} \left(\theta \right)+\sin ^{2} \left(\theta \right)\right)
  • cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ)=1\cos ^{2} \left(\theta \right)+\sin ^{2} \left(\theta \right)=1
    • D'où :
    Δ=4\Delta =4

    Il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−Δ2az_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z2=−b+Δ2az_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
    z1=2cos⁡(θ)−2−sin⁡2(θ)z_{1} =\frac{2\cos \left(\theta \right)-2}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)}
    et
    z2=2cos⁡(θ)+2−sin⁡2(θ)z_{2} =\frac{2\cos \left(\theta \right)+2}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)}

    Donc S={2cos⁡(θ)−2−sin⁡2(θ);2cos⁡(θ)+2−sin⁡2(θ)}S=\left\{\frac{2\cos \left(\theta \right)-2}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)} ;\frac{2\cos \left(\theta \right)+2}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)} \right\}