Les nombres complexes

Equations du second degré

Exercice 1

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations du second degré ci-dessous.
1

z2=z1z^{2} =-z-1

Correction
2

2z22z+3=02z^{2} -2z+3=0

Correction
3

z25z+9=0z^{2} -5z+9=0

Correction
4

2z2+4z2=0-2z^{2} +4z-2=0

Correction
5

2z2+3=02z^{2} +3=0

Correction
6

Soit z0z\ne 0 , résoudre : z+1z=1z+\frac{1}{z} =1

Correction
7

Soit z2z\ne 2 , résoudre : z3z2=z\frac{z-3}{z-2} =z

Correction
8

(z22z+5)(z24z+3)=0\left(z^{2} -2z+5\right)\left(z^{2} -4z+3\right)=0

Correction
9

z3+z2+5z=0z^{3} +z^{2} +5z=0

Correction
10

sin2(θ)z22cos(θ)z+1=0-\sin ^{2} \left(\theta \right)z^{2} -2\cos \left(\theta \right)z+1=0

Correction

Exercice 2

Pour tout complexe zz, on considère le polynôme P(z)=z3+z22z8P\left(z\right)=z^{3} +z^{2} -2z-8.
1

Vérifier que P(z)=(z2)(z2+3z+4)P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(z^{2} +3z+4\right)

Correction
2

Résoudre alors dans C\mathbb{C} , l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction

Exercice 3

Pour tout complexe zz, on considère le polynôme P(z)=2z3+3z2+3z+2P\left(z\right)=2z^{3} +3z^{2} +3z+2
1

Déterminer les trois réels a,ba,b et cc tel que P(z)=(z+1)(az2+bz+c)P\left(z\right)=\left(z+1\right)\left(az^{2} +bz+c\right)

Correction
2

Résoudre alors dans C\mathbb{C} , l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction

Exercice 4

Le polynôme PP est défini sur C\mathbb{C} par P(z)=3z3+(1+6i)z2+(16+2i)z+32iP\left(z\right)=3z^{3} +\left(1+6i\right)z^{2} +\left(16+2i\right)z+32i
1

Montrer que 2i-2i est une racine de PP.

Correction
2

Déterminer alors que P(z)=(z+2i)(3z2+z+16)P\left(z\right)=\left(z+2i\right)\left(3z^{2} +z+16\right)

Correction
3

Résoudre alors dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction
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