Equations du 1er degré dans $$\mathbb{C}$$ - Exercice 1

$$2z-5z=1-2i+4i$$ équivaut successivement à
$$-3z=1+2i$$
$$z=-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i\right\}$$

$$3z+4i-2=-z+2i+3$$ équivaut successivement à
$$3z+z=2i+3-4i+2$$
$$4z=-2i+5$$
$$z=\frac{5}{4} -\frac{2}{4} i$$
$$z=\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i\right\}$$

$$-z+2=2z-3i-5$$ équivaut successivement à
$$-z-2z=-2-3i-5$$
$$-3z=-7-3i$$
$$z=\frac{-7-3i}{-3}$$
$$z=\frac{-7}{-3} +\frac{-3i}{-3}$$
$$z=\frac{7}{3} +i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{\frac{7}{3} +i\right\}$$

Soit $$iz=2$$
On a $$z=\frac{2}{i}$$
On doit donner la forme algébrique (on multiplie par le conjugué du dénominateur).
$$z=\frac{2\left(-i\right)}{i\left(-i\right)} =-2i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{-2i\right\}$$

$$\left(2+i\right)z=1+i$$ équivaut successivement à
$$z=\frac{1+i}{2+i}$$ . On doit donner la forme algébrique (on multiplie par le conjugué du dénominateur)
$$z=\frac{\left(1+i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}$$
$$z=\frac{2-i+2i-i^{2} }{2^{2} +1^{2} }$$
$$z=\frac{2-i+2i-\left(-1\right)}{5}$$
$$z=\frac{2-i+2i+1}{5}$$
$$z=\frac{3+i}{5}$$
$$z=\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i\right\}$$

$$3iz+5=2z+i+1$$
Il vient alors que :
$$3iz-2z=-5+i+1$$
d'où $$z\left(3i-2\right)=-4+i$$ (on a factorisé par $$z$$)
Ainsi, $$z=\frac{-4+i}{3i-2}$$
Soit $$z=\frac{\left(-4+i\right)\left(-3i-2\right)}{\left(3i-2\right)\left(-3i-2\right)}$$ . On doit donner la forme algébrique (on multiplie par le conjugué du dénominateur)
$$z=\frac{-4\times \left(-3i\right)-4\times \left(-2\right)+i\times \left(-3i\right)+i\times \left(-2\right)}{3^{2} +2^{2} }$$
$$z=\frac{12i+8-3i^{2} -2i}{13}$$
$$z=\frac{12i+8-3\times \left(-1\right)-2i}{13}$$
$$z=\frac{12i+8+3-2i}{13}$$
$$z=\frac{11+10i}{13}$$
$$z=\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i\right\}$$

$$z+4-5i=2+2iz$$
Il vient alors que :
$$z-2iz=-4+5i+2$$
$$z-2iz=-2+5i$$
d'où $$z\left(1-2i\right)=-2+5i$$ (on a factorisé par $$z$$)
Ainsi : $$z=\frac{-2+5i}{1-2i}$$
Soit : $$z=\frac{\left(-2+5i\right)\left(1+2i\right)}{\left(1-2i\right)\left(1+2i\right)}$$
$$z=\frac{-2-4i+5i+10i^{2} }{1^{2} +2^{2} }$$
$$z=\frac{-12+i}{5}$$
Finalement : $$z=-\frac{12}{5} +\frac{1}{5} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{-\frac{12}{5} +\frac{1}{5} i\right\}$$

On a une équation produit nul $$\left(z+2i\right)\left(2z-4+2i\right)=0$$ c'est-à-dire
$$z+2i=0$$ ou $$2z-4+2i=0$$

Résolvons d'une part :

$$z+2i=0$$ donc $$z=-2i$$

Résolvons d'autre part :

$$2z-4+2i=0\Leftrightarrow 2z=4-2i\Leftrightarrow z=\frac{4-2i}{2} \Leftrightarrow z=2-i$$
Ainsi les solutions sont : $$S=\left\{-2i;2-i\right\}$$

Soit $$z\ne -\frac{1}{2}$$ , $$\frac{z+1}{2z+1} =1+i$$ peut s'écrire $$\frac{z+1}{2z+1} =\frac{1+i}{1}$$ .
Il vient alors que :
$$z+1=\left(2z+1\right)\left(1+i\right)$$ équivaut successivement à
$$z+1=2z+2iz+1+i$$
$$z-2z-2iz=i$$
$$z\left(-1-2i\right)=i$$
$$z=\frac{i}{-1-2i}$$
$$z=\frac{i\left(-1+2i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}$$
$$z=\frac{i\times \left(-1\right)+i\times 2i}{1^{2} +2^{2} }$$
$$z=\frac{-i+2i^{2} }{5}$$
$$z=\frac{-i-2}{5}$$
$$z=-\frac{2}{5} -\frac{1}{5} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{-\frac{2}{5} -\frac{1}{5} i\right\}$$

Soit $$z\ne -2+i$$ , $$\frac{z-3+i}{z+2-i} =-2i$$ peut s'écrire $$\frac{z-3+i}{z+2-i} =\frac{-2i}{1}$$ .
Il vient alors que :
$$\left(z+2-i\right)\times \left(-2i\right)=\left(z-3+i\right)\times 1$$ équivaut successivement à
$$-2iz-4i+2i^{2}=z-3+i$$
$$-2iz-4i-2=z-3+i$$
$$-2iz-z=-3+i+4i+2$$
$$-2iz-z=-1+5i$$
$$z\left(-1-2i\right)=-1+5i$$
$$z=\frac{-1+5i}{-1-2i}$$
$$z=\frac{\left(-1+5i\right)\left(-1+2i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}$$
$$z=\frac{-1\times \left(-1\right)-1\times 2i+5i\times \left(-1\right)+5i\times 2i}{1^{2} +2^{2} }$$
$$z=\frac{1-2i-5i+10i^{2} }{5}$$
$$z=\frac{1-2i-5i+10\times \left(-1\right)}{5}$$
$$z=\frac{1-2i-5i-10}{5}$$
$$z=\frac{-9-7i}{5}$$
$$z=-\frac{9}{5} -\frac{7}{5} i$$
Ainsi la solution est $$S=\left\{-\frac{9}{5} -\frac{7}{5} i\right\}$$