Les nombres complexes

Equations bicarrées - Exercice 1

15 min
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Question 1
Résoudre dans C\mathbb{C} les équations bicarrées ci-dessous.

Z4+2Z2−3=0Z^{4} +2Z^{2} -3=0

Correction
Pour cette équation que l'on appelle équation bicarrée, on va utiliser un changement de variable.
On pose z=Z2z=Z^{2} .
Il vient alors que Z4+2Z2−3=0⇔(Z2)2+2Z2−3=0Z^{4} +2Z^{2} -3=0\Leftrightarrow \left(Z^{2} \right)^{2} +2Z^{2} -3=0
Il en résulte que {z2+2z−3=0z=Z2\left\{\begin{array}{c} {z^{2} +2z-3=0} \\ {z=Z^{2} } \end{array}\right.
On utilise le discriminant
Δ=16\Delta =16

Il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−Δ2az_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z2=−b+Δ2az_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
z1=−3z_{1} =-3 et z2=1z_{2} =1.
Or nous avons posé z=Z2z=Z^{2} , il en résulte que :
Z2=−3Z^{2} =-3 ou encore Z2=1Z^{2} =1
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}} Z2=1Z^{2} =1.
Il vient alors que
Z=1Z=1
ou
Z=−1Z=-1

 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}} Z2=−3Z^{2} =-3. On écrit alors Z2+3=0Z^{2} +3=0
Δ=−12\Delta =-12, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées Z1Z_{1} et Z2Z_{2} tels que Z1=−b−i−Δ2aZ_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et Z2=−b+i−Δ2aZ_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
Z1=−i122Z_{1} =\frac{-i\sqrt{12} }{2} d'où
Z1=−i3Z_{1} =-i\sqrt{3}

Z2=i122Z_{2} =\frac{i\sqrt{12} }{2} d'où
Z2=i3Z_{2} =i\sqrt{3}

Finalement les solutions de l'équation Z4+2Z2−3=0Z^{4} +2Z^{2} -3=0 sont
S={−i3;i3;−1;1}S=\left\{-i\sqrt{3} ;i\sqrt{3} ;-1;1\right\}
Question 2

2Z4−4Z2−16=02Z^{4} -4Z^{2} -16=0

Correction
Pour cette équation que l'on appelle équation bicarrée, on va utiliser un changement de variable.
On pose z=Z2z=Z^{2} .
Il vient alors que 2Z4−4Z2−16=02Z^{4} -4Z^{2} -16=0 s'écrit alors 2(Z2)2−4Z2−16=02\left(Z^{2} \right)^{2} -4Z^{2} -16=0
Il en résulte que {2z2−4z−16=0z=Z2\left\{\begin{array}{c} {2z^{2} -4z-16=0} \\ {z=Z^{2} } \end{array}\right.
On utilise le discriminant
Δ=144\Delta =144

Il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−Δ2az_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z2=−b+Δ2az_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
z1=−2z_{1} =-2 et z2=4z_{2} =4.
Or nous avons posé z=Z2z=Z^{2} , il en résulte que
Z2=−2Z^{2} =-2 ou encore Z2=4Z^{2} =4
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}} Z2=4Z^{2} =4.
Il vient alors que
Z=2Z=2
ou
Z=−2Z=-2

 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}} Z2=−2Z^{2} =-2. On écrit alors Z2+2=0Z^{2} +2=0
Δ=−8\Delta =-8, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées Z1Z_{1} et Z2Z_{2} tels que Z1=−b−i−Δ2aZ_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et Z2=−b+i−Δ2aZ_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
Z1=−i82Z_{1} =\frac{-i\sqrt{8} }{2} d'où
Z1=−2iZ_{1} =-\sqrt{2} i

Z2=i82Z_{2} =\frac{i\sqrt{8} }{2} d'où
Z2=2iZ_{2} =\sqrt{2} i

Finalement les solutions de l'équation 2Z4−4Z2−16=02Z^{4} -4Z^{2} -16=0 sont
S={−2i;2i;−2;2}S=\left\{-\sqrt{2} i;\sqrt{2} i;-2;2\right\}
Question 3

Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0

Correction
Pour cette équation que l'on appelle équation bicarrée, on va utiliser un changement de variable.
On pose z=Z2z=Z^{2} .
Il vient alors que Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 s'écrit alors (Z2)2−Z2−12=0\left(Z^{2} \right)^{2} -Z^{2} -12=0
Il en résulte que {z2−z−12=0z=Z2\left\{\begin{array}{c} {z^{2} -z-12=0} \\ {z=Z^{2} } \end{array}\right.
On utilise le discriminant
Δ=49\Delta =49

Il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−Δ2az_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z2=−b+Δ2az_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
z1=−3z_{1} =-3 et z2=4z_{2} =4.
Or nous avons posé z=Z2z=Z^{2} , il en résulte que
Z2=−3Z^{2} =-3 ou encore Z2=4Z^{2} =4
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}} Z2=4Z^{2} =4.
Il vient alors que
Z=2Z=2
ou
Z=−2Z=-2

 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}} Z2=−3Z^{2} =-3. On écrit alors Z2+3=0Z^{2} +3=0
Δ=−12\Delta =-12, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées Z1Z_{1} et Z2Z_{2} tels que Z1=−b−i−Δ2aZ_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et Z2=−b+i−Δ2aZ_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
Ainsi :
Z1=−3iZ_{1} =-\sqrt{3} i
et
Z2=3iZ_{2} =\sqrt{3} i

Finalement les solutions de l'équation Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 sont : S={−3i;3i;−2;2}S=\left\{-\sqrt{3} i;\sqrt{3} i;-2;2\right\}