Les nombres complexes

Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 1

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On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (0;u;v)\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
On pose Z=z2+3z6Z=z^{2} +3z-6
Question 1

Calculez le nombre complexe ZZ sous forme algébrique.

Correction
On pose z=x+iyz=x+iy. Ainsi :
Z=(x+iy)2+3(x+iy)6Z=\left(x+iy\right)^{2} +3\left(x+iy\right)-6 équivaut successivement à
Z=x2+2ixyy2+3x+3iy6Z=x^{2} +2ixy-y^{2} +3x+3iy-6
Z=x2y2+3x6+i(2xy+3y)Z=x^{2} -y^{2} +3x-6+i\left(2xy+3y\right)
Ainsi la partie réelle notée est Re(Z)=x2y2+3x6Re\left(Z\right)=x^{2} -y^{2} +3x-6 et la partie imaginaire notée est Im(Z)=2xy+3yIm\left(Z\right)=2xy+3y
Question 2

Déterminer l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Donc Im(Z)=0Im\left(Z\right)=0 c'est à dire 2xy+3y=02xy+3y=0
2xy+3y=02xy+3y=0 équivaut à y(2x+3)=0y\left(2x+3\right)=0 ( équation produit nul )
y=0 ou 2x+3=0y=0{\text{ ou }}2x+3=0.
Finalement y=0 ou x=32y=0{\text{ ou }}x=\frac{-3}{2}
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est la réunion de la droite des abscisses et la droite verticale d'équation x=32x=\frac{-3}{2} .