Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Les nombres complexes
Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 1
7 min
10
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
(
0
;
u
⃗
;
v
⃗
)
\left(0;\vec{u} ;\vec{v} \right)
(
0
;
u
;
v
)
et soit
M
M
M
d'affixe
z
z
z
.
Soit
z
z
z
un nombre complexe tel que
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
où
x
x
x
et
y
y
y
sont deux réels.
On pose
Z
=
z
2
+
3
z
−
6
Z=z^{2} +3z-6
Z
=
z
2
+
3
z
−
6
Question 1
Calculez le nombre complexe
Z
Z
Z
sous forme algébrique.
Correction
On pose
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
. Ainsi :
Z
=
(
x
+
i
y
)
2
+
3
(
x
+
i
y
)
−
6
Z=\left(x+iy\right)^{2} +3\left(x+iy\right)-6
Z
=
(
x
+
i
y
)
2
+
3
(
x
+
i
y
)
−
6
équivaut successivement à
Z
=
x
2
+
2
i
x
y
−
y
2
+
3
x
+
3
i
y
−
6
Z=x^{2} +2ixy-y^{2} +3x+3iy-6
Z
=
x
2
+
2
i
x
y
−
y
2
+
3
x
+
3
i
y
−
6
Z
=
x
2
−
y
2
+
3
x
−
6
+
i
(
2
x
y
+
3
y
)
Z=x^{2} -y^{2} +3x-6+i\left(2xy+3y\right)
Z
=
x
2
−
y
2
+
3
x
−
6
+
i
(
2
x
y
+
3
y
)
Ainsi la partie réelle notée est
R
e
(
Z
)
=
x
2
−
y
2
+
3
x
−
6
Re\left(Z\right)=x^{2} -y^{2} +3x-6
R
e
(
Z
)
=
x
2
−
y
2
+
3
x
−
6
et la partie imaginaire notée est
I
m
(
Z
)
=
2
x
y
+
3
y
Im\left(Z\right)=2xy+3y
I
m
(
Z
)
=
2
x
y
+
3
y
Question 2
Déterminer l'ensemble
(
E
)
\left(E\right)
(
E
)
des points
M
M
M
d'affixe
z
z
z
tels que
Z
Z
Z
soit un réel.
Correction
Z
Z
Z
est un réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Donc
I
m
(
Z
)
=
0
Im\left(Z\right)=0
I
m
(
Z
)
=
0
c'est à dire
2
x
y
+
3
y
=
0
2xy+3y=0
2
x
y
+
3
y
=
0
2
x
y
+
3
y
=
0
2xy+3y=0
2
x
y
+
3
y
=
0
équivaut à
y
(
2
x
+
3
)
=
0
y\left(2x+3\right)=0
y
(
2
x
+
3
)
=
0
( équation produit nul )
y
=
0
ou
2
x
+
3
=
0
y=0{\text{ ou }}2x+3=0
y
=
0
ou
2
x
+
3
=
0
.
Finalement
y
=
0
ou
x
=
−
3
2
y=0{\text{ ou }}x=\frac{-3}{2}
y
=
0
ou
x
=
2
−
3
L'ensemble
(
E
)
\left(E\right)
(
E
)
des points
M
M
M
d'affixe
z
z
z
tels que
Z
Z
Z
soit un réel est la réunion de la droite des abscisses et la droite verticale d'équation
x
=
−
3
2
x=\frac{-3}{2}
x
=
2
−
3
.