Les nombres complexes

Calculs algébriques - Exercice 1

15 min
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Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants

Il faut effectuer développer les expressions si besoin avec la distributivité ou les identités remarquables, puis regrouper les parties réelles et les parties imaginaires.
i2=−1i^2=-1
Question 1

z1=1+2i−5+7iz_{1} =1+2i-5+7i

Correction
z1=−4+9iz_{1} =-4+9i
Question 2

z2=2(1+2i)−4(2−2i)z_{2} =2\left(1+2i\right)-4\left(2-2i\right)

Correction
z2=2(1+2i)−4(2−2i)z_{2} =2\left(1+2i\right)-4\left(2-2i\right) équivaut successivement à :
z2=2×1+2×2i−4×2−4×(−2i)z_{2} =2\times 1+2\times 2i-4\times 2-4\times \left(-2i\right)
z2=2+4i−8+8iz_{2} =2+4i-8+8i
Ainsi :
z2=−6+12iz_{2} =-6+12i

Question 3

z3=(2+i)(3−4i)z_{3} =\left(2+i\right)\left(3-4i\right)

Correction
z3=(2+i)(3−4i)z_{3} =\left(2+i\right)\left(3-4i\right) équivaut successivement à :
z3=2×3+2×(−4i)+3i−4i2z_{3} =2\times 3+2\times \left(-4i\right)+3i-4i^{2}
z3=6−8i+3i−4×(−1)z_{3} =6-8i+3i-4\times\left(-1\right)
z3=6−8i+3i+4z_{3} =6-8i+3i+4
Ainsi :
z3=10−5iz_{3} =10-5i
Question 4

z4=(2−3i)(2−6i)z_{4} =\left(2-3i\right)\left(2-6i\right)

Correction
z4=(2−3i)(2−6i)z_{4} =\left(2-3i\right)\left(2-6i\right) équivaut successivement à :
z4=4−12i−6i+18i2z_{4} =4-12i-6i+18i^{2}
z4=4−12i−6i+18×(−1)z_{4} =4-12i-6i+18\times\left(-1\right)
z4=4−12i−6i−18z_{4} =4-12i-6i-18
Ainsi :
z4=−14−18iz_{4} =-14-18i
Question 5

z5=(3−2i)2z_{5} =\left(3-2i\right)^{2}

Correction
z5=(3−2i)2z_{5} =\left(3-2i\right)^{2} équivaut successivement à :
z5=32−2×3×(2i)+(2i)2z_{5} =3^{2} -2\times 3\times \left(2i\right)+\left(2i\right)^{2}
z5=9−12i+4i2z_{5} =9 -12i+4i^{2}
z5=9−12i+4×(−1)z_{5} =9 -12i+4\times\left(-1\right)
z5=9−12i−4z_{5} =9-12i-4
Ainsi :
z5=5−12iz_{5} =5-12i

Question 6

z6=(5+3i)2z_{6} =\left(5+3i\right)^{2}

Correction
z6=(5+3i)2z_{6} =\left(5+3i\right)^{2} équivaut successivement à :
z6=52+2×5×3i+(3i)2z_{6} =5^{2} +2\times 5\times 3i+\left(3i\right)^{2}
z6=52+2×5×3i+9i2z_{6} =5^{2} +2\times 5\times 3i+9i^{2}
z6=52+2×5×3i+9×(−1)z_{6} =5^{2} +2\times 5\times 3i+9\times\left(-1\right)
z6=25+30i−9z_{6} =25 +30i-9
Ainsi :
z6=16+30iz_{6} =16+30i
Question 7

z7=(3−2i)(1−i)+2(4−3i)z_{7} =\left(3-2i\right)\left(1-i\right)+2\left(4-3i\right)

Correction
z7=3−3i−2i+2i2+8−6iz_{7} =3-3i-2i+2i^{2} +8-6i équivaut successivement à :
z7=3−3i−2i−2+8−6iz_{7} =3-3i-2i-2+8-6i
Finalement :
z7=9−11iz_{7} =9-11i
Question 8

z8=(1+i)(2+4i)−(1+2i)2z_{8} =\left(1+i\right)\left(2+4i\right)-\left(1+2i\right)^{2}

Correction
z8=2+4i+2i+4i2−(1+4i+4i2)z_{8} =2+4i+2i+4i^{2} -\left(1+4i+4i^{2} \right) équivaut successivement à :
z8=2+4i+2i−4−(1+4i−4)z_{8} =2+4i+2i-4-\left(1+4i-4\right)
z8=2+4i+2i−4−1−4i+4z_{8} =2+4i+2i-4-1-4i+4
Ainsi :
z8=1+2iz_{8} =1+2i
Question 9

z9=(1+i)(2+3i)(1−2i)z_{9} =\left(1+i\right)\left(2+3i\right)\left(1-2i\right)

Correction
Ici on développe les deux premiers facteurs, on réduit puis ensuite on développe le résultat avec le troisième facteur
z9=(1+i)(2+3i)(1−2i)z_{9} =\left(1+i\right)\left(2+3i\right)\left(1-2i\right) équivaut successivement à
z9=(2+3i+2i+3i2)(1−2i)z_{9} =\left(2+3i+2i+3i^{2} \right)\left(1-2i\right)
z9=(2+3i+2i−3)(1−2i)z_{9} =\left(2+3i+2i-3\right)\left(1-2i\right)
z9=(−1+5i)(1−2i)z_{9} =\left(-1+5i\right)\left(1-2i\right)
z9=−1+2i+5i−10i2z_{9} =-1+2i+5i-10i^{2}
z9=−1+2i+5i+10z_{9} =-1+2i+5i+10
Ainsi :
z9=9+7iz_{9} =9+7i