Les lois continues

Petits problèmes... - Exercice 1

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Question 1
Un célèbre jeu sur internet est conçu de façon à ce que, pour une population donnée, le temps pour finir le jeu soit de 100100 minutes et l’écart-type 1515 minutes. Les temps effectués sur le jeu sont distribués suivant une loi normale.
Pour cette exercice, il vous faudra utiliser la loi normale centreˊe reˊduite .\red{\text{Pour cette exercice, il vous faudra utiliser la loi normale centrée réduite .}}

Quel est le pourcentage de la population finissant le jeu avant 8585 minutes.

Correction

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)\mathcal{N}\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=XμσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right)
On pose alors Z=X10015Z=\frac{X-100}{15} suit la loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right).
Il vient alors que :
P(X85)=P(X10085100)P\left(X\le 85\right)=P\left(X-100\le 85-100\right)
P(X100158510015)P\left(\frac{X-100}{15} \le \frac{85-100}{15} \right)
P(Z1515)P\left(Z\le \frac{-15}{15} \right)
P(Z1)P\left(Z\le -1\right)
Avec une calculatrice Texas, pour P(Z1)P\left(Z\le -1\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max)
C'est-à-dire ici NormalFrep(1099-10^{99}, 1-1) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(Z1)0,158P\left(Z\le -1\right)\approx 0,158

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Z1)P\left(Z\le -1\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 1-1 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(Z1)0,158P\left(Z\le -1\right)\approx 0,158

Ainsi, 15,8%15,8\% de la population termine le jeu en moins de 8585 minutes.
Question 2

Quel est le pourcentage de la population finissant le jeu entre 100100 minutes et 115115 minutes?

Correction

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)N\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=XμσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
On pose alors Z=X10015Z=\frac{X-100}{15} suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right).
Il vient alors que :
P(100X115)=P(10010015X1001511510015)P\left(100\le X\le 115\right)=P\left(\frac{100-100}{15} \le \frac{X-100}{15} \le \frac{115-100}{15} \right)
P(100X115)=P(0Z1)P\left(100\le X\le 115\right)=P\left(0\le Z\le 1\right)
Avec une calculatrice Texas, pour P(0Z1)P\left(0\le Z\le 1\right) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(00, 11) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(0Z1)0,341P\left(0\le Z\le 1\right)\approx 0,341

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(0Z1)P\left(0\le Z\le 1\right) on tape :
Normal C.D
Lower : 00 Valeur Minimale
Upper : 11 Valeur Maximale
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(0Z1)0,341P\left(0\le Z\le 1\right)\approx 0,341

Ainsi, 34,1%34,1\% de la population termine le jeu entre 100100 minutes et 115115 minutes.
Question 3

Une association appelée LEAGUE SUPER regroupe les personnes dont le temps pour finir le jeu fait partie des 2%2\% les moins élevés. Quel temps faut-il avoir pour adhérer à cette association? Arrondir à la minute inférieur.

Correction
Soit tt le temps recherché, nous devons donc résoudre l'équation : P(Xt)=0,02P\left(X\le t\right)=0,02

Si une variable aléatoire XX suit une loi normale de paramètres μ\mu et σ\sigma notée N(μ;σ2)N\left(\mu;\sigma ^{2} \right), alors la variable aléatoire Z=XμσZ=\frac{X-\mu }{\sigma} suit une loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
On pose alors Z=X10015Z=\frac{X-100}{15} suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right).
Il vient alors que :
P(X10015t10015)=0,02P\left(\frac{X-100}{15} \le \frac{t-100}{15} \right)=0,02
P(Zt10015)=0,02P\left(Z\le \frac{t-100}{15} \right)=0,02

Avec une calculatrice Texas, pour P(Zt10015)=0,02P\left(Z\le \frac{t-100}{15} \right)=0,02 on tape InvNorm(valeur donnée, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici InvNorm(0.020.02) puis on tape sur Enter et on obtient :
t100152,053\frac{t-100}{15}\approx -2,053
Ainsi :
t69,205t\approx 69,205

Il n'est pas nécessaire d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Zt10015)=0,02P\left(Z\le \frac{t-100}{15} \right)=0,02 on tape :
Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est \le
Area : 0.020.02
σ\sigma : 11 Ecart type
μ\mu : 00 Espérance

puis on tape sur EXE et on obtient :
t100152,053\frac{t-100}{15}\approx -2,053
Ainsi :
t69,205t\approx 69,205

Pour faire partie de l'association appelée LEAGUE SUPER les personnes doivent avoir un temps inférieur à 6969 minutes.