Les lois continues

Loi uniforme - Exercice 1

12 min
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Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right]
Question 1

Déterminer la probabilité suivante P(4≤X≤5)P\left(4\le X\le 5\right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [3;7]\left[3;7\right] est f(x)=17−3=14f\left(x\right)=\frac{1}{7-3} =\frac{1}{4}
P(4≤X≤5)=∫45f(x)dxP\left(4\le X\le 5\right)=\int _{4}^{5}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(4≤X≤5)=∫4514dxP\left(4\le X\le 5\right)=\int _{4}^{5}\frac{1}{4} dx
P(4≤X≤5)=[14x]45P\left(4\le X\le 5\right)=\left[\frac{1}{4} x\right]_{4}^{5}
P(4≤X≤5)=(14×5)−(14×4)P\left(4\le X\le 5\right)=\left(\frac{1}{4} \times 5\right)-\left(\frac{1}{4} \times 4\right)
Ainsi :
P(4≤X≤5)=14P\left(4\le X\le 5\right)=\frac{1}{4}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
On a :
P(4≤X≤5)=5−47−3P\left(4\le X\le 5\right)=\frac{5-4}{7-3}
P(4≤X≤5)=14P\left(4\le X\le 5\right)=\frac{1}{4}
Question 2

Déterminer la probabilité suivante P(X≥6)P\left(X\ge 6\right)

Correction
On a P(X≥6)=P(6≤X≤7)P\left(X\ge 6\right)=P\left(6\le X\le 7\right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right]
P(6≤X≤7)=∫67f(x)dxP\left(6\le X\le 7\right)=\int _{6}^{7}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(6≤X≤7)=∫6714dxP\left(6\le X\le 7\right)=\int _{6}^{7}\frac{1}{4} dx
P(6≤X≤7)=[14x]67P\left(6\le X\le 7\right)=\left[\frac{1}{4} x\right]_{6}^{7}
P(6≤X≤7)=(14×7)−(14×6)P\left(6\le X\le 7\right)=\left(\frac{1}{4} \times 7\right)-\left(\frac{1}{4} \times 6\right)
Ainsi :
P(6≤X≤7)=14P\left(6\le X\le 7\right)=\frac{1}{4}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
On a :
P(6≤X≤7)=7−67−3P\left(6\le X\le 7\right)=\frac{7-6}{7-3}
P(6≤X≤7)=14P\left(6\le X\le 7\right)=\frac{1}{4}
Question 3

Déterminer la probabilité suivante P(X≤92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)

Correction
P(X≤92)=P(3≤X≤92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)=P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)
P(3≤X≤92)=∫392f(x)dxP\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\int _{3}^{\frac{9}{2} }f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(3≤X≤92)=∫39214dxP\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\int _{3}^{\frac{9}{2} }\frac{1}{4} dx
P(3≤X≤92)=[14x]392P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\left[\frac{1}{4} x\right]_{3}^{\frac{9}{2} }
P(3≤X≤92)=(14×92)−(14×3)P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\left(\frac{1}{4} \times \frac{9}{2} \right)-\left(\frac{1}{4} \times 3\right)
Ainsi :
P(3≤X≤92)=38P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\frac{3}{8}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
On a :
P(X≤92)=P(3≤X≤92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)=P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)
P(3≤X≤92)=92−37−3P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\frac{\frac{9}{2} -3}{7-3}
P(3≤X≤92)=38P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\frac{3}{8}
Question 4

Déterminer la probabilité suivante P(X=4)P\left(X=4\right)

Correction
De manière générale, avec les lois continues et donc en particulier avec la loi uniforme , on a :
P(X=α)=0P\left(X=\alpha\right)=0
Ainsi :
P(X=4)=0P\left(X=4\right)=0
Question 5

Calculer l'espérance de XX

Correction

Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=3+72=5E\left(X\right)=\frac{3+7}{2} =5