Les lois continues

Loi exponentielle - Exercice 1

15 min
20
On note XX une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,02\lambda =0,02
Déterminer les probabilités suivantes au millième près :
Question 1

P(4≤X≤5)P\left(4\le X\le 5\right)

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
P(4≤X≤5)=∫45λe−λxdxP\left(4\le X\le 5\right)=\int _{4}^{5}\lambda e^{-\lambda x} dx équivaut successivement à
P(4≤X≤5)=∫450,02e−0,02xdxP\left(4\le X\le 5\right)=\int _{4}^{5}0,02e^{-0,02x} dx
P(4≤X≤5)=[−e−0,02x]45P\left(4\le X\le 5\right)=\left[-e^{-0,02x} \right]_{4}^{5}
P(4≤X≤5)=e−0,02×4−e−0,02×5P\left(4\le X\le 5\right)=e^{-0,02\times 4} -e^{-0,02\times 5}
Ainsi :
P(4≤X≤5)≈0,018P\left(4\le X\le 5\right)\approx 0,018
Question 2

P(X≤4)P\left(X\le 4\right)

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
On a : P(X≤4)=P(0≤X≤4)P\left(X\le 4\right)=P\left(0\le X\le 4\right)
P(0≤X≤4)=∫04λe−λxdxP\left(0\le X\le 4\right)=\int _{0}^{4}\lambda e^{-\lambda x} dx équivaut successivement à
P(0≤X≤4)=∫040,02e−0,02xdxP\left(0\le X\le 4\right)=\int _{0}^{4}0,02e^{-0,02x} dx
P(0≤X≤4)=[−e−0,02x]04P\left(0\le X\le 4\right)=\left[-e^{-0,02x} \right]_{0}^{4}
P(0≤X≤4)=e−0,02×0−e−0,02×4P\left(0\le X\le 4\right)=e^{-0,02\times 0} -e^{-0,02\times 4}
Ainsi :
P(0≤X≤4)≈0,077P\left(0\le X\le 4\right)\approx 0,077
Question 3

P(X≥3)P\left(X\ge 3\right)

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
On a :
P(X≥3)=1−P(X≤3)P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(X\le 3\right)
Ainsi : P(X≥3)=1−P(0≤X≤3)P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(0\le X\le 3\right)
Commençons par calculer : P(0≤X≤3)P\left(0\le X\le 3\right)
P(0≤X≤3)=∫03λe−λxdxP\left(0\le X\le 3\right)=\int _{0}^{3}\lambda e^{-\lambda x} dx équivaut successivement à
P(0≤X≤3)=∫030,02e−0,02xdxP\left(0\le X\le 3\right)=\int _{0}^{3}0,02e^{-0,02x} dx
P(0≤X≤3)=[−e−0,02x]03P\left(0\le X\le 3\right)=\left[-e^{-0,02x} \right]_{0}^{3}
P(0≤X≤3)=e−0,02×0−e−0,02×3P\left(0\le X\le 3\right)=e^{-0,02\times 0} -e^{-0,02\times 3}
Ainsi :
P(0≤X≤3)≈0,058P\left(0\le X\le 3\right)\approx 0,058

Or P(X≥3)=1−P(0≤X≤3)=1−0,058P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(0\le X\le 3\right)=1-0,058
D'où :
P(X≥3)≈0,942P\left(X\ge 3\right)\approx 0,942
Question 4

P(X=1)P\left(X=1\right)

Correction
De manière générale, avec les lois continues et donc en particulier avec la loi exponentielle , on a :
P(X=α)=0P\left(X=\alpha\right)=0
Ainsi :
P(X=1)=0P\left(X=1\right)=0
Question 5

Calculer l'espérance de XX

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut :
  • E(X)=1λE\left( X\right)=\frac{1}{\lambda}
Il vient alors que :
E(X)=10,02=50E\left(X\right)=\frac{1}{0,02} =50