Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Il nous faut calculer la probabilité de l'évènement $$C\cap H$$. Ainsi :
$$P\left(C\cap H\right)=P\left(C\right)\times P_{C} \left(H\right)$$
$$P\left(C\cap H\right)=0,3\times 0,459$$
D'où :
La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est $$0,1377$$.

Les évènements $$C$$; $$S$$ et $$E$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$P\left(H\right)=P\left(C \cap H\right)+P\left(S \cap H\right)+P\left(E \cap H\right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(H\right)=P\left(C\right)\times P_{C} \left(H\right)+P\left(S\right)\times P_{S} \left(H\right)+P\left(E\right)\times P_{E} \left(H\right)$$
$$P\left(H\right)= 0,3\times 0,459+0,5\times 0,8+0,2\times 0,25$$

Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'arbre abattu a été vendu à un habitant de la commune, quelle est la probabilité que ce soit un sapin.
Il vient alors que :
$$P_{H} \left(S\right)=\frac{P\left(S\cap H\right)}{P\left(H\right)}$$
$$P_{H} \left(S\right)=\frac{P\left(S\right)\times P_{S} \left(H\right)}{P\left(H\right)}$$
$$P_{H} \left(S\right)=\frac{0,5\times 0,8}{0,5877}$$ d'où :

Pour le calcul de $$P\left(3400\le X\le 4600\right)$$

Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(3400\le X\le 4600\right)$$ on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep($$3400$$ , $$4600$$ , $$4000$$ , $$300$$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(3400\le X\le 4600\right)$$ on tape :

puis on tape sur EXE et on obtient :

Pour le calcul de $$P\left(X\ge 4500\right)$$

Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(X\ge 4500\right)$$ on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep($$4500$$ , $$10^{99}$$ , $$4000$$ , $$300$$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(X\ge 4500\right)$$ on tape :

puis on tape sur EXE et on obtient :

Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$. Ici $$p=\frac{1}{2}=0,5$$ et $$n=200$$ .
Remarque : $$p=\frac{1}{2}=0,5$$ en référence à l’exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de $$1$$ sapin pour $$2$$ arbres.

• $$200\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$200\times 0,5=100$$ donc $$np\ge 5$$
• $$200\times \left(1-0,5\right)=100$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,5-1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} } ;0,5+1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} } \right]$$
$$I=\left[0,430;0,570\right]$$
Ici $$0,430$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,5-1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} }$$
Ici $$0,570$$ est une valeur approchée par excès de $$0,5+1,96\times \frac{\sqrt{0,5\times \left(1-0,5\right)} }{\sqrt{200} }$$
Or $$f_{obs} \in \left[0,430;0,570\right]$$, donc cela ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.