Les lois continues

Exercice 8 - Exercice 1

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Question 1
YY est une variable aléatoire suivant une loi normale telle que P(Y≥45)=0,5P\left(Y\ge 45\right)=0,5 et P(37≤X≤53)≈0,95P\left(37\le X\le 53\right)\approx0,95.

Déterminer les valeurs de l’espérance μ\mu et de l’écart type σ\sigma de la loi normale suivie par YY.

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance μ\mu et d’écart type σ\sigma alors :
  • P(X≤μ)=P(X≥μ)=0,5P\left(X\le \mu\right)=P\left(X\ge \mu\right)=0,5
    • Comme P(Y≥45)=0,5P\left(Y\ge 45\right)=0,5 alors μ=45 \mu=45
    Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors :
  • P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,68P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx0,68
  • P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,95
  • P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,99P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)\approx0,99
    • D'après le rappel, nous savons que : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95P\left( {\color{blue}\mu -2\sigma}\le X\le {\color{red}\mu +2\sigma} \right)\approx0,95 et nous avons ici P(37≤X≤53)≈0,95P\left({\color{blue}37}\le X\le {\color{red}53}\right)\approx0,95
    Ainsi : μ−2σ=37{\color{blue}\mu -2\sigma={\color{blue}37}} et μ+2σ=53{\color{red}\mu +2\sigma={\color{red}53}}
    Nous savons que μ=45\mu=45. Il en résulte donc que :
    45−2σ=37{\color{blue}45 -2\sigma={\color{blue}37}} ce qui nous donne :
    −2σ=37−45-2\sigma=37-45
    −2σ=−8-2\sigma=-8
    σ=−8−2\sigma=\frac{-8}{-2}
    σ=4\sigma=4

    YY qui suit la loi normale d’espérance 4545 et d’écart type 44 .