Les lois continues

Exercice 2 - Exercice 1

1 min
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Question 1
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
Il est bien sûr demandé de justifier !

Soit XX une variable aléatoire suivant sur [1e,e]\left[\frac{1}{e} ,e\right] une loi de densité ff définie par f(x)=2kxf\left(x\right)=\frac{2k}{x} .
La valeur de kk est :
  • 14\frac{1}{4}
  • 12\frac{1}{2}
  • 11

Correction
La bonne réponse est a.
Notons XX la variable aléatoire définie sur [1e,e]\left[\frac{1}{e} ,e\right] dont la loi de probabilité a pour densité ff.
On doit vérifier que :
  • ff est continue sur [1e,e]\left[\frac{1}{e} ,e\right]
  • ff est positive sur [1e,e]\left[\frac{1}{e} ,e\right]
  • ∫1eef(x)dx=1\int _{\frac{1}{e} }^{e}f\left(x\right)dx =1

x↦2kxx\mapsto \frac{2k}{x} est une fonction rationnelle , ff est continue sur un intervalle qui n'annule pas son domaine de définition.
Donc ff est bien continue sur [1e,e]\left[\frac{1}{e} ,e\right].
De plus, on doit avoir : ∫1eef(x)dx=1\int _{\frac{1}{e} }^{e}f\left(x\right)dx =1
∫1eef(x)dx=1\int _{\frac{1}{e} }^{e}f\left(x\right)dx =1 équivaut successivement à
∫1ee(2kx)dx=1\int _{\frac{1}{e} }^{e}\left(\frac{2k}{x} \right)dx =1
[2kln⁡(x)]1ee=1\left[2k\ln \left(x\right)\right]_{\frac{1}{e} }^{e} =1
(2kln⁡(e))−(2kln⁡(1e))=1\left(2k\ln \left(e\right)\right)-\left(2k\ln \left(\frac{1}{e} \right)\right)=1
(2kln⁡(e))+(2kln⁡(e))=1\left(2k\ln \left(e\right)\right)+\left(2k\ln \left(e\right)\right)=1 car ln⁡(1e)=−ln⁡(e)\ln \left(\frac{1}{e} \right)=-\ln \left(e\right)
2k+2k=12k+2k=1
k=14k=\frac{1}{4}

Avec cette valeur de kk, on obtient une fonction positive sur [1e,e]\left[\frac{1}{e} ,e\right].
ff est bien une fonction densité de probabilité.
Question 2

Après avoir passé une commande sur internet, le slogan du site annonce que la livraison aura lieu entre 10h10h et 11h11h le lendemain matin.
Sachant que le client a attendu sa commande 2020 minutes, quelle est la probabilité que sa commande arrive dans les 1010 prochaines minutes.
On suppose que la probabilité de la livraison de la commande est uniformément répartie.
  • 14\frac{1}{4}
  • 13\frac{1}{3}
  • 512\frac{5}{12}

Correction
La bonne réponse est a.
Soit XX la variable aléatoire égale au temps en heures écoulé après 1010h.
On sait que 20 minutes représentent 13h\frac{1}{3} h comme ensuite sa commande arrive dans les 1010 minutes qui suivent, il ne peut donc excéder un temps d'attente de 3030 minutes c'est-à-dire 12h\frac{1}{2} h.
Il s'agit donc d'une probabilité conditionnelle de la forme :
P(X≥13)(X≤12)=P((X≥13)∩(X≤12))P(X≥13)P_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{P\left(\left(X\ge \frac{1}{3} \right)\cap \left(X\le \frac{1}{2} \right)\right)}{P\left(X\ge \frac{1}{3} \right)}
P(X≥13)(X≤12)=P(13≤X≤12)P(X≥13)P_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{P\left(\frac{1}{3} \le X\le \frac{1}{2} \right)}{P\left(X\ge \frac{1}{3} \right)}
P(X≥13)(X≤12)=P(13≤X≤12)P(13≤X≤1)P_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{P\left(\frac{1}{3} \le X\le \frac{1}{2} \right)}{P\left(\frac{1}{3} \le X\le 1\right)}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;1]\left[0;1\right] est f(x)=11−0=1f\left(x\right)=\frac{1}{1-0} =1.
En effet, car on travaille sur un intervalle d'une heure.
P(X≥13)(X≤12)=∫1312f(x)dx∫131f(x)dxP_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{\int _{\frac{1}{3} }^{\frac{1}{2} }f\left(x\right)dx }{\int _{\frac{1}{3} }^{1}f\left(x\right)dx }
P(X≥13)(X≤12)=[x]1312[x]131P_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{\left[x\right]_{\frac{1}{3} }^{\frac{1}{2} } }{\left[x\right]_{\frac{1}{3} }^{1} }
P(X≥13)(X≤12)=(12−13)(1−13)P_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} \right)}{\left(1-\frac{1}{3} \right)}
P(X≥13)(X≤12)=14P_{\left(X\ge \frac{1}{3} \right)} \left(X\le \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}
Question 3

La durée de vie en années d'un panneau solaire est une variable aléatoire XX qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda >0.
On a observé que 54,8%54,8\% des panneaux solaires dépassent trois années de vie.
La valeur de λ\lambda à 10−210^{-2} près est alors :
  • 0,550,55
  • 0,200,20
  • 0,450,45

Correction
La bonne réponse est b.
La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
Il faut résoudre P(X≥3)=0,548P\left(X\ge 3\right)=0,548.
Il vient alors :
P(X≥3)=0,548P\left(X\ge 3\right)=0,548
Or : P(X≥a)=1−P(X≤a)P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)
D'où :
1−P(X≤3)=0,5481-P\left(X\le 3\right)=0,548
1−(1−e−3λ)=0,5481-\left(1-e^{-3\lambda } \right)=0,548
e−3λ=0,548e^{-3\lambda } =0,548
ln⁡(e−3λ)=ln⁡(0,548)\ln \left(e^{-3\lambda } \right)=\ln \left(0,548\right)
−3λ=ln⁡(0,548)-3\lambda =\ln \left(0,548\right)
λ=ln⁡(0,548)−3\lambda =\frac{\ln \left(0,548\right)}{-3}
λ≈0,20\lambda \approx 0,20
Question 4

Soit XX une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance μ=22\mu =22.
On sait de plus que P(X≤20)=0,453P\left(X\le 20\right)=0,453.
On appelle σ\sigma l'écart type inconnu de XX.
La valeur de σ\sigma , arrondi à l'entier le plus proche, est :
  • 1717
  • 1818
  • 1919

Correction
La bonne réponse est a.
Soit μ\mu un réel et σ\sigma un réel strictement positif.
  • La variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) si et seulement si la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma } suit la
    loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right)
    • Donc ici, puisque XX suit la loi normale N(22;σ2)\mathcal{N}\left(22 ;\sigma ^{2} \right) alors la variable aléatoire Z=X−22σZ=\frac{X-22}{\sigma } suit la loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right). Il vient alors que :
    P(X≤20)=0,453P\left(X\le 20\right)=0,453 s'écrit alors P(X−22σ≤20−22σ)=0,453P\left(\frac{X-22}{\sigma } \le \frac{20-22}{\sigma } \right)=0,453
    Autrement dit : P(Z≤−2σ)=0,453P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)=0,453.
    Pour le calcul de P(Z≤−2σ)=0,453P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)=0,453
    Avec une Texas, on tape pour P(Z≤−2σ)≈0,453P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)\approx 0,453 InvNorm(valeur donnée, espérance , écart type) c'est-à-dire ici : InvNorm( 0.4530.453 , 00,1 1) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
    −2σ=−0,118-\frac{2}{\sigma } =-0,118
    . On obtient donc une équation, on trouve alors :
    σ=−2−0,118\sigma =\frac{-2}{-0,118}
    σ≈16,94\sigma \approx 16,94. Ainsi σ=17\sigma =17 ( entier le plus proche)
    Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(Z≤−2σ)=0,453P\left(Z\le \frac{-2}{\sigma } \right)=0,453
    Normal inverse
    Data : Variable
    Tail : Left car c'est ≤\le
    Area : 0,4530,453
    σ\sigma : 11 Ecart type
    μ\mu : 00 Espérance

    puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
    −2σ=−0,118-\frac{2}{\sigma } =-0,118

    On obtient donc une équation, on trouve alors :
    σ=−2−0,118\sigma =\frac{-2}{-0,118}
    σ≈16,94\sigma \approx 16,94. Ainsi σ=17\sigma =17 ( entier le plus proche)
    Question 5

    Une machine remplit des sacs de pommes de terre.
    On obtient des sacs distribués selon une loi normale autour d'une moyenne μ\mu (en kg) et avec un écart type égal à 0,50,5.
    Sur quelle valeur μ\mu doit ton régler la machine pour que 84,1%84,1\% des sacs aient une masse supérieure à 1010 kg ?
    Donnez μ\mu à 10−110^{-1} près.
    • 10,310,3
    • 10,410,4
    • 10,510,5

    Correction
    La bonne réponse est c.
    Soit μ\mu un réel et σ\sigma un réel strictement positif.
  • La variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) si et seulement si la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma } suit la
    loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right)
    • Donc ici, puisque XX suit la loi normale N(μ;0,52)\mathcal{N}\left(\mu ;0,5^{2} \right) alors la variable aléatoire Z=X−μ0,5Z=\frac{X-\mu}{0,5 } suit la loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right). Il vient alors que :
    P(X≥10)=0,841P\left(X\ge 10\right)=0,841 ou encore 1−P(X≤10)=0,8411-P\left(X\le 10\right)=0,841
    Il vient alors que :
    P(X≤10)=0,159P\left(X\le 10\right)=0,159 s'écrit alors : P(X−μ0,5≤10−μ0,5)=0,159P\left(\frac{X-\mu }{0,5} \le \frac{10-\mu }{0,5} \right)=0,159
    Autrement dit P(Z≤10−μ0,5)=0,159P\left(Z\le \frac{10-\mu }{0,5} \right)=0,159.
    Pour le calcul de P(Z≤10−μ0,5)=0,159P\left(Z\le \frac{10-\mu }{0,5} \right)=0,159
    Avec une Texas, on tape pour P(Z≤10−μ0,5)=0,159P\left(Z\le \frac{10-\mu }{0,5} \right)=0,159 InvNorm(valeur donné,espérance , écart type) c'est-à-dire ici : InvNorm( 0.1590.159 , 00, 11) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
    10−μ0,5≈−0,999\frac{10-\mu }{0,5} \approx -0,999

    On obtient donc une équation, il vient alors que :
    10−μ≈−0,999×0,510-\mu \approx -0,999\times 0,5
    −μ≈−0,999×0,5−10-\mu \approx -0,999\times 0,5-10
    μ≈0,999×0,5+10\mu \approx 0,999\times 0,5+10
    on trouve alors : μ≈10,4995\mu \approx 10,4995.
    Ainsi
    μ=10,5\mu =10,5

    Avec une Casio Graph 3535+, on tape pour P(Z≤10−μ0,5)=0,159P\left(Z\le \frac{10-\mu }{0,5} \right)=0,159
    Normal inverse
    Data : Variable
    Tail : Left car c'est ≤\le
    Area : 0,1590,159
    σ\sigma : 11 Ecart type
    μ\mu : 00 Espérance

    puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
    10−μ0,5≈−0,999\frac{10-\mu }{0,5} \approx -0,999
    .
    On obtient donc une équation, il vient alors que :
    10−μ≈−0,999×0,510-\mu \approx -0,999\times 0,5
    −μ≈−0,999×0,5−10-\mu \approx -0,999\times 0,5-10
    μ≈0,999×0,5+10\mu \approx 0,999\times 0,5+10
    on trouve alors : μ≈10,4995\mu \approx 10,4995.
    Ainsi
    μ=10,5\mu =10,5
    Question 6

    Lors d'un tournoi de basket, où il y a eu 100100 matchs, 7,67,6% des matchs se sont soldés par plus de 4040 fautes et 23,723,7% se sont soldés par moins de 2525 fautes.
    Trouver la moyenne et l'écart type, en supposant qu'on peut approcher la loi de la variable aléatoire donnant le nombre de fautes dans un mach.
    • μ=31\mu =31 et σ=8\sigma =8
    • μ=29\mu =29 et σ=6\sigma =6
    • μ=30\mu =30 et σ=7\sigma =7

    Correction
    La bonne réponse est a.
    Avec les données du texte, on en déduit :
    P(X≥40)=0,076P\left(X\ge 40\right)=0,076 et que P(X≤25)=0,237P\left(X\le 25\right)=0,237 où XX suit la loi normale μ\mu et σ\sigma que l'on doit déterminer.
    Soit μ\mu un réel et σ\sigma un réel strictement positif.
  • La variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) si et seulement si la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma } suit la
    loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right)
    • Donc ici, puisque XX suit la loi normale N(μ;σ2)\mathcal{N}\left(\mu ;\sigma ^{2} \right) alors la variable aléatoire Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma } suit la loi normale centrée réduite N(0;1)\mathcal{N}\left(0;1\right). Il vient alors que :
    P(X≥10)=0,841P\left(X\ge 10\right)=0,841 ou encore 1−P(X≤10)=0,8411-P\left(X\le 10\right)=0,841
    Il vient alors que :

    D'une part,
    P(X≥40)=0,076P\left(X\ge 40\right)=0,076 équivaut successivement à
    P(X−μσ≥40−μσ)=0,076P\left(\frac{X-\mu }{\sigma } \ge \frac{40-\mu }{\sigma } \right)=0,076
    P(Z≥40−μσ)=0,076P\left(Z\ge \frac{40-\mu }{\sigma } \right)=0,076
    1−P(Z≤40−μσ)=0,0761-P\left(Z\le \frac{40-\mu }{\sigma } \right)=0,076
    P(Z≤40−μσ)=0,924P\left(Z\le \frac{40-\mu }{\sigma } \right)=0,924

    D'autre part,
    P(X≤25)=0,237P\left(X\le 25\right)=0,237
    P(X−μσ≤25−μσ)=0,237P\left(\frac{X-\mu }{\sigma } \le \frac{25-\mu }{\sigma } \right)=0,237
    P(Z≤25−μσ)=0,237P\left(Z\le \frac{25-\mu }{\sigma } \right)=0,237

    Avec la calculatrice P(Z≤25−μσ)=0,237P\left(Z\le \frac{25-\mu }{\sigma } \right)=0,237 donne
    25−μσ=−0,716\frac{25-\mu }{\sigma } =-0,716 .
    Ainsi on a une première équation :
    25−μ=−0,716σ25-\mu =-0,716\sigma

    Avec la calculatrice P(Z≤40−μσ)=0,924P\left(Z\le \frac{40-\mu }{\sigma } \right)=0,924 donne
    40−μσ=1,436\frac{40-\mu }{\sigma } =1,436 (on utilise la même méthode que l'on a vu aux questions 4 et 5 de cet exercice)
    Ainsi on a une deuxième équation :
    40−μ=1,436σ40-\mu =1,436\sigma

    On doit résoudre le système suivant
    {−μ+0,716σ=−25−μ−1,436σ=−40\left\{\begin{array}{ccccc} {-\mu } & {+} & {0,716\sigma } & {=} & {-25} \\ {-\mu } & {-} & {1,436\sigma } & {=} & {-40} \end{array}\right.
    {μ≈29,99σ≈6,97\left\{\begin{array}{ccc} {\mu } & {\approx } & {29,99} \\ {\sigma } & {\approx } & {6,97} \end{array}\right.
    {μ=30σ=7\left\{\begin{array}{ccc} {\mu } & {=} & {30} \\ {\sigma } & {=} & {7} \end{array}\right.
    On a arrondi à l'entier le plus proche.
    Lors de ce tournoi, la moyenne de 3030 fautes par match avec un écart type de 77.
    Question 7

    On choisit au hasard un nombre xx dans l'intervalle [−1;8]\left[-1;8\right].
    Quelle est la probabilité que xx soit solution de l'inéquation x2−4x+3≤0x^{2} -4x+3\le 0 ?
    • 29\frac{2}{9}
    • 39\frac{3}{9}
    • 19\frac{1}{9}

    Correction
    La bonne réponse est a.
    Les solutions de l'inéquation x2−4x+3=0x^{2} -4x+3=0 sont 11 et 33.
    Donc x2−4x+3≤0x^{2} -4x+3\le 0 sur l'intervalle [1;3]\left[1;3\right].
    On suppose que la probabilité de choisir un nombre xx dans l'intervalle [−1;8]\left[-1;8\right] suit une loi uniformément répartie.
    La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [−1;8]\left[-1;8\right] est f(x)=18−(−1)=19f\left(x\right)=\frac{1}{8-\left(-1\right)} =\frac{1}{9} .
    P(1≤X≤3)=∫13f(x)dxP\left(1\le X\le 3\right)=\int _{1}^{3}f\left(x\right)dx
    P(1≤X≤3)=[19x]13P\left(1\le X\le 3\right)=\left[\frac{1}{9} x\right]_{1}^{3}
    P(1≤X≤3)=(19×3−19×1)P\left(1\le X\le 3\right)=\left(\frac{1}{9} \times 3-\frac{1}{9} \times 1\right)
    P(1≤X≤3)=29P\left(1\le X\le 3\right)=\frac{2}{9}
    La probabilité qu'un nombre choisi au hasard dans [−1;8]\left[-1;8\right] soit solution de x2−4x+3≤0x^{2} -4x+3\le 0 est de 29\frac{2}{9} .
    Question 8

    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 11 et d’écart-type σ\sigma.
    Si P(−6≤X≤8)≈0,95P\left(-6\le X\le 8\right)\approx0,95 alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de σ\sigma est :
    • 3,53,5
    • 77
    • 11

    Correction
    La bonne réponse est a.
    Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors :
  • P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,68P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx0,68
  • P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,95
  • P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,99P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)\approx0,99
    • D'après le rappel, nous savons que : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,95
    Ce qui signifie ici que : P(1−2σ≤X≤1+2σ)≈0,95P\left(1 -2\sigma \le X\le 1 +2\sigma \right)\approx0,95 ou encore P(−6≤X≤8)≈0,95P\left(-6\le X\le 8\right)\approx0,95
    Ce qui nous donne par identification deux équations : 1−2σ=−61 -2\sigma=-6 et 1+2σ=81 +2\sigma=8
    Nous les résolvons et nous trouvons
    σ=3,5\sigma=3,5
    Question 9

    Une variable aléatoire TT suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme [2;x]\left[2; x\right],où xx est un réel strictement supérieur à 22. Sachant que P(2≤T≤3)=14P\left(2\le T\le 3\right)=\frac{1}{4}. La valeur de xx est :
    • 2,252,25
    • 66
    • 88

    Correction
    La bonne réponse est b.
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
    • P(2≤T≤3)=14P\left(2\le T\le 3\right)=\frac{1}{4} équivaut successivement à :
    3−2x−2=14\frac{3-2}{x-2} =\frac{1}{4}
    1x−2=14\frac{1}{x-2} =\frac{1}{4}
    (x−2)×1=1×4\left(x-2\right)\times 1=1\times 4
    x−2=4x-2=4
    x=4+2x=4+2
    x=6x=6