Les lois continues

Exercice 1 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande bien sûr de justifier.
Question 1
Partie A

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour. En 20102010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 1515 à 1919 ans, était de 0,2360, 236.
On a p=0,236p = 0, 236.
La probabilité que, sur un groupe de 1010 jeunes âgés de 1515 à 1919 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10−310^{-3} près :
  • 0,1360,136
  • 00
  • 0,0680,068
  • 0,7640,764

Correction
La proposition correcte est la proposition c.
Chaque choix de jeune peut être considéré comme une épreuve de Bernoulli.
Le succès est l'évènement « le jeune est fumeur régulier ».
La probabilité de succès est 0,2360,236.
On répète 1010 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Si on note XX la variable aléatoire correspondant au nombre de succès, XX suit la loi binomiale de paramètres n=10n=10 et p=0,236p=0,236
P(X=0)=0,76410≈0,068P(X=0)=0,764^{10} \approx 0,068
Question 2

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,950,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500500 jeunes âgés de 1515 à 1919 ans est : (les bornes de chaque intervalle sont données à 10−310^{-3} près)
  • [0,198;0,274]\left[0,198;0,274\right]
  • [0,134;0,238]\left[0,134;0,238\right]
  • [0,191;0,281]\left[0,191;0,281\right]
  • [0,192;0,280]\left[0,192;0,280\right]

Correction
La proposition correcte est la proposition a.
La taille de l'échantillon nn est supérieur à 3030.
On a également :
np=500×0,236=118≥5np=500\times 0,236=118\ge 5 et n×(1−p)=500×0,764=382≥5.n\times (1-p)=500\times 0,764=382\ge 5.
[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } \right]
p−1,96×p×(1−p)n=0,236−1,96×0,236×0,764500≈0,198p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } =0,236-1,96\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{500} } \approx 0,198.
Pour la borne inférieure, on donne une valeur approchée par défaut.
p+1,96×p×(1−p)n=0,236−1,96×0,236×0,764500≈0,274p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } =0,236-1,96\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{500} } \approx 0,274.
Pour la borne supérieure, on donne une valeur approchée par excès.
Question 3

La taille nn de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,950,95 soit inférieure à 0,010,01, vaut :
  • n=200n=200
  • n=400n=400
  • n=21167n=21167
  • n=27707n=27707

Correction
La proposition correcte est la proposition d.
2×1,96×0,236×0,764n≤0,01⇔0,236×0,764n≤0,0051,96⇔n≥1,960,236×0,7640,0052\times 1,96\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le 0,01\Leftrightarrow \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le \frac{0,005}{1,96} \Leftrightarrow \sqrt{n} \ge \frac{1,96\sqrt{0,236\times 0,764} }{0,005}
3,92×0,236×0,764n≤0,013,92\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le 0,01
0,236×0,764n≤0,013,92\frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le \frac{0,01}{3,92} , ensuite on inverse les deux quotients, le sens de l'inégalité changera.
Ainsi :
n0,236×0,764≥3,920,01\frac{\sqrt{n} }{\sqrt{0,236\times 0,764} } \ge \frac{3,92}{0,01}
n≥3,92×0,236×0,7640,01\sqrt{n} \ge \frac{3,92\times \sqrt{0,236\times 0,764} }{0,01}
n≥(3,92×0,236×0,7640,01)2n\ge \left(\frac{3,92\times \sqrt{0,236\times 0,764} }{0,01} \right)^{2}
n≥(3,92×0,236×0,7640,01)2≈27707n\ge \left(\frac{3,92\times \sqrt{0,236\times 0,764} }{0,01} \right)^{2} \approx 27707
Question 4

Dans un échantillon de 250250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 1515 à 1919 ans, 9999 sont des filles (les bornes de chaque intervalle sont données à 10−210^{-2} près).
  • [0,35;0,45]\left[0,35;0,45\right]
  • [0,33;0,46]\left[0,33;0,46\right]
  • [0,39;0,40]\left[0,39;0,40\right]
  • [0,30;0,50]\left[0,30;0,50\right]

Correction
La proposition correcte est la proposition b.
On a bien n≥30,  nf≥5n\ge 30{\text ,\; }nf\ge 5 et n(1−f)≥5n\left(1-f\right)\ge 5.
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,950,95 est donné par la formule suivante.
[f−1n;f+1n]\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} } ;f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right]
f−1n=0,396−1250≈0,33.f-\frac{1}{\sqrt{n} } =0,396-\frac{1}{\sqrt{250} } \approx 0,33.
On arrondit la borne inférieure par défaut.
f+1n=0,396+1250≈0,46.f+\frac{1}{\sqrt{n} } =0,396+\frac{1}{\sqrt{250} } \approx 0,46.
On arrondit la borne supérieure par excès.
Question 5
Partie B
Cette partie est indépendante de la partie AA.
Les probabilités sont données à 0,0010,001 près.

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.
Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent 400400 enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32%32\% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

Le nombre d'enfants issus des villages voisins est :
  • 128128
  • 272272
  • 303303
  • 368368

Correction
La proposition correcte est la proposition b.
D'où :
68100×400=272\frac{68}{100} \times 400=272
Question 6

Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif.
On admet que le nombre d'enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.
On appelle XX la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'enfants de l'équipe habitant le village de Boisjoli.
La variable aléatoire XX suit la loi binomiale de paramètres :
  • n=400n=400 et p=0p=0
  • n=400n=400 et p=8p=8
  • n=8n=8 et p=0,32p=0,32
  • n=8n=8 et p=0,68p=0,68

Correction
La proposition correcte est la proposition c.
La probabilité qu’un enfant soit de Boisjoli est 0,320,32 puisqu’il y a 32%32\% d’enfants de ce village.
On choisit 88 enfants donc n=8n=8
Question 7

La probabilité que dans l'équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :
  • 0,1250,125
  • 0,8750,875
  • 0,9540,954
  • 11

Correction
La proposition correcte est la proposition c.
On cherche P(X≥1)P(X\ge 1) .
Or : P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)
Avec la calculatrice on obtient :
P(X≥1)≈0,954P(X\ge 1)\approx 0,954
Question 8

L'espérance mathématique de XX est :
  • 1,74081,7408
  • 2,562,56
  • 87,0487,04
  • 128128

Correction
La proposition correcte est la proposition c.
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Donc :
    E(X)=8×0,32=2,56E(X)=8\times 0,32=2,56
    Question 9
    Partie C
    Cette partie est indépendante de la partie AA et de la partie BB.

    Dans un parc d'attraction, le temps d'attente XX pour profiter de l'attraction phare, exprimé en minutes, sur la loi uniforme sur l'intervalle [13;29]\left[13;29\right]
    Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre 1515 à 2020 minutes ?
    • 0,31250,3125
    • 0,32150,3215
    • 0,35210,3521
    • 0,31520,3152

    Correction
    La proposition correcte est la proposition a.
    P(15≤X≤20)=∫1520f(x)dxP\left(15\le X\le 20\right)=\int _{15}^{20}f\left(x\right)dx équivaut successivement à :
    P(15≤X≤20)=20−1529−13P\left(15\le X\le 20\right)=\frac{20-15}{29-13}
    P(15≤X≤20)=516P\left(15\le X\le 20\right)=\frac{5}{16}
    P(15≤X≤20)=0,3125P\left(15\le X\le 20\right)=0,3125
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
    Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
    On a :
    P(15≤X≤20)=20−1529−13P\left(15\le X\le 20\right)=\frac{20-15}{29-13}
    P(15≤X≤20)=516P\left(15\le X\le 20\right)=\frac{5}{16}
    P(15≤X≤20)=0,3125P\left(15\le X\le 20\right)=0,3125

    Question 10

    Préciser le temps d'attente moyen à la caisse :
    • 1919
    • 2121
    • 2323
    • 2525

    Correction
    La proposition correcte est la proposition b.
    XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut : E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
    Il en résulte que :
    E(X)=13+292=21E\left(X\right)=\frac{13+29}{2} =21
    Question 11

    La durée de vie d’un téléphone portable (en années) peut être modélisée par une variable aléatoire TT suivant une loi exponentielle de paramètre λ\lambda.
    Une étude montre qu’au bout de 55 ans, 70%70\% des portables sont encore utilisés.
    Donner la valeur de λ\lambda à 10−310^{-3} près.
    • 0,0720,072
    • 0,2410,241
    • 0,0710,071
    • 0,2420,242

    Correction
    La proposition correcte est la proposition c.

    La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
    • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
    • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
    • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
    Il faut résoudre P(X≥5)=0,7P\left(X\ge 5\right)=0,7.
    Il vient alors :
    P(X≥5)=0,7P\left(X\ge 5\right)=0,7 équivaut successivement à :
    e−5λ=0,7e^{-5\lambda } =0,7
    ln⁡(e−5λ)=ln⁡(0,7)\ln \left(e^{-5\lambda } \right)=\ln \left(0,7\right)
    −5λ=ln⁡(0,7)-5\lambda =\ln \left(0,7\right)
    λ=ln⁡(0,7)−5\lambda =\frac{\ln \left(0,7\right)}{-5}
    λ≈0,071\lambda \approx 0,071
    Question 12

    Calculer la demi-vie, c'est-à-dire le nombres d'années tt tel que P(X≤t)=P(X≥t).P\left(X\le t\right)=P\left(X\ge t\right).
    • t=−λln⁡(2)t=-\frac{\lambda }{\ln \left(2\right)}
    • t=λln⁡(2)t=\frac{\lambda }{\ln \left(2\right)}
    • t=−ln⁡(2)λt=-\frac{\ln \left(2\right)}{\lambda }
    • t=ln⁡(2)λt=\frac{\ln \left(2\right)}{\lambda }

    Correction
    La proposition correcte est la proposition d.
    P(X≤t)=P(X≥t)P\left(X\le t\right)=P\left(X\ge t\right) équivaut successivement à :
    1−e−λt=e−λt1-e^{-\lambda t} =e^{-\lambda t}
    −2e−λt=−1-2e^{-\lambda t} =-1
    e−λt=12e^{-\lambda t} =\frac{1}{2}
    ln⁡(e−λt)=ln⁡(12)\ln \left(e^{-\lambda t} \right)=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
    −λt=−ln⁡(2)-\lambda t=-\ln \left(2\right)
    λt=ln⁡(2)\lambda t=\ln \left(2\right)
    t=ln⁡(2)λt=\frac{\ln \left(2\right)}{\lambda }
    Question 13
    Partie D.
    Cette partie est indépendante de la partie AA et de la partie BB et de la partie CC.

    Soient AA et BB deux évènements non impossibles, non certains et indépendants l'un de l'autre.
    De manière générale : PB(Aˉ)=P_{B} \left(\bar{A}\right)=
    • PBˉ(A)P_{\bar{B}} \left(A\right)
    • 1−P(A)1-P\left(A\right)
    • P(Aˉ∩B)P\left(\bar{A}\cap B\right)
    • aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte

    Correction
    La bonne réponse est b.
    • P(A‾)=1−P(A)P\left(\overline{A}\right)=1- P\left(A\right)
    • Si AA et BB sont des évènements indépendants alors : P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right) = P\left(A\right)\times P\left(B\right)
    Il s'agit d'une probabilité conditionnelle :
    PB(A‾)=P(A‾∩B)P(B)P_{B} \left(\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    PB(A‾)=P(A‾)×P(B)P(B)P_{B} \left(\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right)\times P\left(B\right)}{P\left(B\right)}
    PB(A‾)=P(A‾)P_{B} \left(\overline{A}\right)=P\left(\overline{A}\right)
    Ainsi :
    PB(A‾)=1−P(A)P_{B} \left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)