Exercice 1 - Exercice 1

La bonne réponse est a.
Soit $$k$$ un réel positif
Sur $$\left[0;\pi \right]$$, la fonction $$x\mapsto 2k\sin \left(x\right)$$ est positive et continue.
$$f$$ est une fonction de densité de probabilité si et seulement si $$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =1$$
Calculons tout d'abord $$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx$$
$$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =\int _{0}^{\pi }2k\sin \left(x\right)dx$$ équivaut successivment à
$$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =\left[-2k\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\pi }$$
$$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =\left(-2k\cos \left(\pi \right)\right)-\left(-2k\cos \left(0\right)\right)$$
$$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =\left(-2k\times \left(-1\right)\right)-\left(-2k\times 1\right)$$
$$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =2k+2k$$
$$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =4k$$
Or $$f$$ est une fonction de densité de probabilité donc $$\int _{0}^{\pi }f\left(x\right)dx =1$$ d'où $$4k=1\Leftrightarrow k=\frac{1}{4}$$

La bonne réponse est c.
Pour que les deux courbes aient la même tangente au point d'abscisse $$x$$, il faut que les dérivées des fonctions soient égales donc que $$f'\left(x\right)=g'\left(x\right)$$.
Cela permettra d'avoir le même coefficient directeur pour les tangentes.
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=g'\left(x\right)$$ équivaut successivement à
$$f'\left(x\right)=g'\left(x\right)$$
$$2\cos \left(2x\right)=2$$
$$\cos \left(2x\right)=1$$
$$\cos \left(2x\right)=\cos \left(0\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2x} & {=} & {0+2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {2x} & {=} & {-0+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Donc $$2x=2k\pi$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$ ou encore $$x=k\pi$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
De plus, il faut que pour ces valeurs de $$x$$, les deux courbes aient un point commun, c'est-à-dire que :
$$\sin \left(2k\pi \right)=2k\pi .$$
Or $$-1\le \sin \left(2k\right)\pi \le 1$$ et comme $$\sin \left(2k\pi \right)=2k\pi$$ alors $$-1\le 2k\pi \le 1$$.
La seule valeur de $$k$$ qui convient est $$k=0$$.
Les courbes représentatives ont donc une tangente commune en un point ici $$x=0$$.

La bonne réponse est c.
D'une part calculons : $$f\left(-x\right)=\cos \left(-x+\frac{\pi }{3} \right)$$
D'autre part calculons : $$-f\left(x\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)$$
Or,

• $$f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$$, donc $$f$$ n'est pas paire.
• $$f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)$$, donc $$f$$ n'est pas impaire.

La bonne réponse est c.
Pour tout réel $$x$$,
$$f\left(x+6\pi \right)=\sin \left(\frac{x+6\pi +\pi }{3} \right)$$
$$f\left(x+6\pi \right)=\sin \left(\frac{x+\pi }{3} +\frac{6\pi }{3} \right)$$
$$f\left(x+6\pi \right)=\sin \left(\frac{x+\pi }{3} +2\pi \right)$$
$$f\left(x+6\pi \right)=\sin \left(\frac{x+\pi }{3} \right)$$
$$f\left(x+6\pi \right)=f\left(x\right)$$

La bonne réponse est a.

$$\frac{\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{3} \right)}{2\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{4} \right)+2\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{4} \right)} =\frac{\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{3} \right)}{2\left(\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{4} \right)+\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)}$$
$$\frac{\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{3} \right)}{2\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{4} \right)+2\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{4} \right)} =\frac{1}{2}$$

La bonne réponse est b.
Ici on reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\sin \left(\frac{x}{2} \right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left(\frac{x}{2} \right)$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\sin \left(\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{2} x\cos \left(\frac{x}{2} \right)$$

La bonne réponse est a.
Pour tout réel $$x\in \left[-\frac{\pi }{4} ,\frac{\pi }{4} \right]$$, on a $$f'\left(x\right)=-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2} \right)$$
Or $$x\in \left[-\frac{\pi }{4} ,\frac{\pi }{4} \right]$$ donc
$$-\frac{\pi }{4} \le x\le \frac{\pi }{4}$$ équivaut successivement à
$$-\frac{\pi }{2} \le 2x\le \frac{\pi }{2}$$
$$-\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{2} \le 2x+\frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{2}$$
$$0\le 2x+\frac{\pi }{2} \le \pi$$
On sait que si $$0\le x\le \pi$$ alors $$\sin \left(x\right)\ge 0$$
Or $$0\le 2x+\frac{\pi }{2} \le \pi$$ donc $$\sin \left(2x+\frac{\pi }{2} \right)\ge 0$$
Il en résulte que $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[-\frac{\pi }{4} ,\frac{\pi }{4} \right]$$.

La bonne réponse est a.
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut à
$$2\cos ^{2} \left(x\right)-4\cos \left(x\right)+2=0$$. On va effectuer un changement de variable en posant $$X=\cos \left(x\right)$$.
Il vient alors :
$$2X^{2} -4X+2=0$$.
On utilise le discriminant.
Ainsi $$\Delta =0$$ et l'équation admet une unique solution $$X=1$$.
Or $$X=\cos \left(x\right)$$ donc $$\cos \left(x\right)=1$$.
$$\cos \left(x\right)=1$$ équivaut successivement à
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(0\right)$$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {0+2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-0+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Donc $$x=2k\pi$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$ , c'est-à-dire une infinité de solutions.

La bonne réponse est b.
On va utiliser le théorème des gendarmes.
Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(\cos \left(x\right)\right)\le 1$$ équivaut successivement à
$$-e^{-x} \le e^{-x} \sin \left(\cos \left(x\right)\right)\le e^{-x}$$
Ainsi $$-\frac{1}{e^{x} } \le e^{-x} \sin \left(\cos \left(x\right)\right)\le \frac{1}{e^{x} }$$ .

• D'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{e^{x} } =0$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{e^{x} } =0$$

Finalement, d'après le théorème des gendarmes :

La bonne réponse est c.
On reconnait la forme $$\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}$$
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=3\times 2\times \cos \left(x\right)\sin \left(x\right)$$
$$f'\left(x\right)=6\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)$$