La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Vecteurs colinéaires, coplanaires ou orthogonaux - Exercice 1

10 min
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Dans chacun des cas suivants, précisez si les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 1

u→(1;−3;1)\overrightarrow{u} \left(1;-3;1\right) et v→(2;2;3)\overrightarrow{v} \left(2;2;3\right)

Correction
Existe-t-il un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v} ?
On obtient le système suivant {1=2k−3=2k1=3k\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2k} \\ {-3} & {=} & {2k} \\ {1} & {=} & {3k} \end{array}\right.
Ainsi {k=12k=−32k=13\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{-3}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{3} } \end{array}\right. .
Les trois valeurs de kk ne sont pas égales.
Dans ce cas, u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Question 2

u→(1;2;1)\overrightarrow{u} \left(1;2;1\right) et v→(2;4;2)\overrightarrow{v} \left(2;4;2\right)

Correction
Existe-t-il un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v} ?
On obtient le système suivant {1=2k2=4k1=2k\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2k} \\ {2} & {=} & {4k} \\ {1} & {=} & {2k} \end{array}\right.
Ainsi {k=12k=12k=12\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right. .
Les trois valeurs de kk sont égales.
Dans ce cas, u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 3

u→(7;4;−8)\overrightarrow{u} \left(7;4;-8\right) et v→(−212;−6;12)\overrightarrow{v} \left(-\frac{21}{2} ;-6;12\right)

Correction
Existe-t-il un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v} ?
On obtient le système suivant {7=−212k4=−6k−8=12k\left\{\begin{array}{ccc} {7} & {=} & {-\frac{21}{2} k} \\ {4} & {=} & {-6k} \\ {-8} & {=} & {12k} \end{array}\right.
Ainsi {k=−23k=−23k=−23\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{-2}{3} } \\ {k} & {=} & {\frac{-2}{3} } \\ {k} & {=} & {\frac{-2}{3} } \end{array}\right. .
Les trois valeurs de kk sont égales.
Dans ce cas, u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 4

Déterminez les nombres xx et yy pour lesquels les vecteurs u⃗(4;x;10)\vec{u} \left(4;x;10\right) et v⃗(−8;12;y)\vec{v} \left(-8 ;12;y\right) sont colinéaires.

Correction
Les vecteurs u→(4;x;10)\overrightarrow{u} \left(4;x;10\right) et v→(−8;12;y)\overrightarrow{v} \left(-8 ;12;y\right) sont colinéaires s'ils sont proportionnels.
Autrement dit : 4−8=x12\frac{4}{-8} =\frac{x}{12} et 4−8=10y\frac{4}{-8} =\frac{10}{y}
Il ne nous reste ensuite qu'à faire des produits en croix. Cela donne :
  • x=4×12−8=−6x=\frac{4\times 12}{-8} =-6
  • y=10×(−8)4=−20y=\frac{10\times \left(-8\right)}{4} =-20
    • Les vecteurs u⃗(4;x;10)\vec{u} \left(4;x;10\right) et v⃗(−8;12;y)\vec{v} \left(-8 ;12;y\right) sont colinéaires si et seulement si x=−6x=-6 et y=−20y=-20 .