La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Montrer qu'une droite et un plan sont orthogonaux - Exercice 1

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Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):x−4y+3z−1=0\left(P_{1} \right):x-4y+3z-1=0 et (d1):{x=−t+1y=−1z=t+4\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {-1} \\ {z} & {=} & {t+4} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
Question 1

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→\overrightarrow{u_{1} } un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
  • Si n1→\overrightarrow{n_{1} } et u1→\overrightarrow{u_{1} } sont colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont orthogonaux.
  • Si n1→\overrightarrow{n_{1} } et u1→\overrightarrow{u_{1} } sont ne sont pas colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(1−43)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {3} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(−101)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (proportionnels), alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas orthogonaux.