Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Calculons, par exemple, les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$ .
$$\overrightarrow{AC} \left(5;5;0\right)$$ et $$\overrightarrow{BC} \left(-2 ;2;2\right)$$.
Les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$ ne sont pas colinéaires. Cela signifie que les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ ne sont pas alignés.
Finalement, les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ forment un plan.

D'après la question précédente, nous savons que $$\overrightarrow{AC} \left(5;5;0\right)$$ et $$\overrightarrow{BC} \left(-2 ;2;2\right)$$.
$$\overrightarrow{AC} .\overrightarrow{BC} =5\times \left(-2\right)+5\times 2+0\times 2=0$$ .
Les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$ sont orthogonaux . Les droites $$\left(AC\right)$$ et $$\left(BC\right)$$ sont perpendiculaires, donc le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$C$$.

Si $$\overrightarrow{n}$$ est un vecteur normal au plan $$\left(ABC\right)$$ alors le vecteur $$\overrightarrow{n}$$ doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan .
D'après la question $$1$$, nous savons que les vecteurs $$\overrightarrow{AC} \left(5;5;0\right)$$ et $$\overrightarrow{BC} \left(-2 ;2;2\right)$$ ne sont pas colinéaires.
Ainsi, $$\overrightarrow{n}$$ étant un vecteur normal au plan $$\left(ABC\right)$$, on peut alors écrire que : $$\overrightarrow{n} .\overrightarrow{AC} =0$$ et $$\overrightarrow{n} .\overrightarrow{BC} =0$$
$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$\overrightarrow{n} .\overrightarrow{AC} =0 \Leftrightarrow 5+5b=0\Leftrightarrow 5b=-5\Leftrightarrow {\color{blue}b=-1}$$
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$\overrightarrow{n} .\overrightarrow{BC} =0 \Leftrightarrow -2+2b+2c=0\Leftrightarrow -2+2\times \left(-1\right)+2c=0\Leftrightarrow -2-2+2c=0\Leftrightarrow -4+2c=0\Leftrightarrow {\color{blue}c=2}$$
Finalement : $$\overrightarrow{n}\left(1;-1;2\right)$$

$$\overrightarrow{n}\left(1;-1;2\right)$$ est un vecteur du plan $$\left(ABC\right)$$.
Le plan s'écrit $$x-y+2z+d=0$$.
Or : $$A\left(-4;0;1\right)$$ appartient au plan donc $$x_{A}-y_{A} +2z_{A} +d=0$$
Ainsi : $$-4-0+2+d=0$$, d'où $$d=2$$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan $$\left(ABC\right)$$ est :

L'équation cartésienne du plan $$\left(ABC\right)$$ est :
Soit $$D\left(0;2;6\right)$$ .
$$x_{D}-y_{D}+2z_{D}+2=0-2+2\times6+2=12\ne0$$
Donc le point $$D$$ n’appartient pas au plan $$\left(ABC\right)$$.

Si la droite $$\left(d\right)$$ est orthogonale à $$\left(ABC\right)$$ alors tout vecteur directeur de $$\left(d\right)$$ est colinéaire à $$\overrightarrow{n}\left(1;-1;2\right)$$.
Nous savons également que le point $$D\left(0;2;6\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$ .
La représentation paramétrique de la droite $$\left(d\right)$$ est : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-t+2} \\ {z} & {=} & {2t+6} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$

$$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-y+2z+2=0} \\ {x=t} \\ {y=2-t} \\ {z=2t+6} \end{array}\right.$$où $$t \in \mathbb{R}$$
On remplace la valeur de $$x,y$$ et $$z$$ dans le plan $$\left(P_{1} \right)$$
$$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t-\left(2-t\right)+2\left(2t+6\right)+2=0} \\ {x=t} \\ {y=2-t} \\ {z=2t+6} \end{array}\right.$$ où $$t \in \mathbb{R}$$ équivaut successivement à
$$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t-2+t+4t+12+2=0} \\ {x=t} \\ {y=2-t} \\ {z=2t+6} \end{array}\right.$$
$$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6t+12=0} \\ {x=t} \\ {y=2-t} \\ {z=2t+6} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-2} \\ {x=t} \\ {y=2-t} \\ {z=2t+6} \end{array}\right.$$
Maintenant que nous avons la valeur de $$t$$, on peut obtenir les valeurs de $$x,y$$ et $$z$$
$$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-2} \\ {x=-2} \\ {y=2-\left(-2\right)} \\ {z=2\times\left(-2\right)+6} \end{array}\right.$$
Il en résulte que : $$\left(\left(ABC\right) \cap \left(d\right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-2} \\ {x=-2} \\ {y=4} \\ {z=2} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point $$H\left(-2;4;2\right)$$

Nous savons que $$D\left(0;2;6\right)$$ et $$H\left(-2;4;2\right)$$
$$DH=\sqrt{\left(x_{H} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{H} -y_{D} \right)^{2} +\left(z_{H} -z_{D} \right)^{2} }$$
$$DH=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +\left(2\right)^{2} +\left(-4\right)^{2} }$$
$$DH=\sqrt{24}$$
$$DH=\sqrt{4\times 6}$$
$$DH=\sqrt{4} \times \sqrt{6}$$