Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

On a :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0} \\ {-6} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \\ {-10} \end{array}\right)$$
On vérifie aisément que les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ ne sont pas colinéaires. Donc les trois points $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ ne sont pas alignés et définissent un plan.

$$\red{\text{ Calculons d'une part :}}$$
$$\overrightarrow{n} .\overrightarrow{AB } =6\times \left(-1\right)+8\times 0+\left(-1\right)\times \left(-6\right) =0$$. Donc les vecteurs $$\overrightarrow{n}\left(6;8;-1\right)$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont orthogonaux.
$$\red{\text{ Calculons d'autre part :}}$$
$$\overrightarrow{n} .\overrightarrow{AC} =6\times \left(-3\right)+8\times 1+\left(-1\right)\times \left(-10\right)=0$$. Donc les vecteurs $$\overrightarrow{n}\left(6;8;-1\right)$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont orthogonaux.

$$\overrightarrow{n}\left(6;8;-1\right)$$ est orthogonal à deux vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ non colinéaires du plan $$\left(ABC\right)$$ donc $$\overrightarrow{n}$$ est un vecteur normal à ce plan.
Ainsi :
$$6x+8y-z+d=0$$. il nous reste à déterminer la valeur de $$d$$. Le point $$A\left(1;1;14\right)$$ appartient au plan $$\left(ABC\right)$$ donc les cordonnées de $$A$$ vérifient l'équation $$6x+8y-z+d=0$$.
Ainsi :
$$6x_{A}+8y_{A}-z_{A}+d=0$$
$$6\times 1+8\times 1-14+d=0$$
$$d=0$$
Le plan $$\left(ABC\right)$$ a donc pour équation cartésienne : .

Il faut prendre les coefficients devant les $$t$$ afin d'avoir les coordonnées du vecteur directeur.

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$
Soient : $$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {8} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur normal du plan $$\left(ABC \right)$$ et $$\overrightarrow{u } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {4} \end{array}\right)$$ un vecteur directeur de $$\left(\Delta \right)$$
$$\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{u_{1} } =6\times 2+8\times 1+\left(-1\right)\times 4\ne 0$$
$$\left(ABC \right)$$ et $$\left(\Delta \right)$$ ne sont pas parallèles, par conséquent ils sont sécants.
$$\red{\text{ Etape 2 : Cherchons le point d'intersection entre le plan et la droite à l'aide du système .}}$$
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6x+8y-z=0} \\ {x=2t-3} \\ {y=t-\frac{1}{2}} \\ {z=4t+2} \end{array}\right.$$ où $$t \in \mathbb{R}$$
On remplace la valeur de $$x,y$$ et $$z$$ dans le plan $$\left(P_{1} \right)$$
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6\times \left(2t-3\right)+8\times\left(t-\frac{1}{2}\right)-4t-2=0} \\ {x=2t-3} \\ {y=t-\frac{1}{2}} \\ {z=4t+2} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {12t-18+8t-4-4t-2=0} \\ {x=2t-3} \\ {y=t-\frac{1}{2}} \\ {z=4t+2} \end{array}\right.$$
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {16t-24=0} \\ {x=2t-3} \\ {y=t-\frac{1}{2}} \\ {z=4t+2} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{3}{2}} \\ {x=2t-3} \\ {y=t-\frac{1}{2}} \\ {z=4t+2} \end{array}\right.$$
Maintenant que nous avons la valeur de $$t$$, on peut obtenir les valeurs de $$x,y$$ et $$z$$
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{3}{2}} \\ {x=2\times\frac{3}{2}-3} \\ {y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \\ {z=4\times \frac{3}{2}+2} \end{array}\right.$$
Il en résulte que $$\left(\left(ABC \right) \cap \left(\Delta \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{3}{2}} \\ {x=0} \\ {y=1} \\ {z=8} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point d'intersection entre la droite $$\left(\Delta \right)$$ et le plan $$\left(ABC \right)$$ est le point $$H\left(0;1;8\right)$$

Il existe un unique point $$M$$ qui appartient à la fois à $$\left(E\right)$$ et à $$\left(ABC\right)$$ si les coordonnées $$\left(x;y;z\right)$$ vérifient le système :
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(E \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6x+8y-z=0} \\ {x=t+t^{3}} \\ {y=t+1} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$ équivaut successivement à :
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(E \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6\times \left(t+t^{3}\right)+8\times \left(t+1\right)-2t=0} \\ {x=t+t^{3}} \\ {y=t+1} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(E \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6t+6t^{3}+8t+8-2t=0} \\ {x=t+t^{3}} \\ {y=t+1} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$
$$\left(\left(ABC \right) \cap \left(E \right) \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {6t^{3}+12t+8=0} \\ {x=t+t^{3}} \\ {y=t+1} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$
Etudions la fonction $$f\left(t\right)=6t^{3} +12t+8$$ définie sur $$\mathbb{R}$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ . On a donc : $$f'\left(t\right)=18t^{2} +12$$.
Pour tout réel $$t$$, on vérifie aisément que $$f'\left(t\right)>0$$ ainsi la fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$.
De plus :

$$\lim\limits_{t\to -\infty } f\left(t\right)=\lim\limits_{t\to -\infty } 6t^{3}=-\infty$$

$$\lim\limits_{t\to +\infty } f\left(t\right)=\lim\limits_{t\to +\infty } 6t^{3}=+\infty$$

Nous allons traduire toutes ces informations dans un tableau de variation.

Sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$\lim _{t \rightarrow -\infty}{f(t)} = -\infty$$ et $$\lim _{t \rightarrow +\infty}{f(t)} = +\infty$$
Or $$0 \in \left]-\infty;+\infty\right[$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ tel que $$f(t) = 0$$

Il existe donc un $$t$$ unique solution de l’équation $$6t^{3} +12t+8=0$$, ce qui entraîne qu’il existe un unique point d’intersection de l’ensemble $$\left(E\right)$$ et du plan $$\left(ABC\right)$$.