La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Exercice 5 - Exercice 1

1 min
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La partie A et la partie B sont indépendantes.
Question 1
Partie A
On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH fourni ci-dessous.

L'espace est rapporté au repère (A;AB;AD;AE)\left(A;\vec{AB} ;\vec{AD} ;\vec{AE} \right).
On note PP le plan d'équation x+12y+13z1=0x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{3} z-1=0.

Construire, sur la figure que vous reproduirez, la section du cube par le plan PP.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Correction
Première manière de résoudre l'exercice :
On cherche des points communs au plan et au cube.
Avec le choix de l'origine du repère en AA les équations des plans contenant les faces sont simples :
x=0x=0, x=1x=1, y=0y=0, y=1y=1, z=0z=0 et z=1z=1
Comme une équation du plan PP est x+12y+13z=1x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{3} z=1 .
On cherche donc trois nombres de somme 1 ; et si l'un d'entre eux est égal à 1, la somme des deux autres est nulle.
Il y a déjà trois possibilités :
x=1x=1, d'où x+12y+13z=1x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{3} z=1 devient 3y+2z=03y+2z=0 le point B(1;0;0)B\left(1;0;0\right) est l'un des points cherchés.
y=2y=2, d'où x+13z=0x+\frac{1}{3} z=0; on obtient le point M(0;2;0)M\left(0;2;0\right)
z=3z=3, d'où x+12y=0x+\frac{1}{2} y=0; on obtient le point N(0;0;3)N\left(0;0;3\right)
x=12x=\frac{1}{2} et y=1y=1 donnent 13z=0\frac{1}{3} z=0 ; on obtient le point I(12;1;0)I\left(\frac{1}{2} ;1;0\right) qui correspond au milieu de [CD]\left[CD\right]
x=0x=0et y=1y=1 donnent 12+13z=1\frac{1}{2} +\frac{1}{3} z=1 donc z=32z=\frac{3}{2} .
On obtient le point L(0;1;32)L\left(0;1;\frac{3}{2} \right)
Les droites (IL)\left(IL\right) et (GH)\left(GH\right) sont coplanaires et sécantes en KK.
Les droites (BN)\left(BN\right) et (EF)\left(EF\right) sont coplanaires et sécantes en JJ.
La section du cube par PP est la surface limitée par le parallélogramme BIKJBIKJ.
Le schéma est donné ci-dessous :

Deuxième manière de résoudre l'exercice :
Le point B(1;0;0)B\left(1;0;0\right) appartient au plan PP car les coordonnées de BB vérifient x+12y+13z=1x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{3} z=1 .
Le point M(0;2;0)M\left(0;2;0\right) appartient au plan PP. MM est le symétrique de AA par rapport à DD.
Le point N(0;0;3)N\left(0;0;3\right) appartient au plan PP. NN est défini par AN=3AE\vec{AN} =3\vec{AE} .
(BM)(ABC)\left(BM\right)\subset \left(ABC\right). (BM)\left(BM\right) coupe [DC]\left[DC\right] en un point II.
(BN)(ABE)\left(BN\right)\subset \left(ABE\right). (BN)\left(BN\right) coupe [EF]\left[EF\right] en un point LL.
Les plans (ABE)\left(ABE\right) et (CDH)\left(CDH\right) sont parallèles donc le plan PP les coupe suivant deux droites parallèles.
La parallèle à (BJ)\left(BJ\right) passant par II coupe [GH]\left[GH\right] en KK.
On peut finir à la règle seulement en traçant (MN)\left(MN\right) et (EH)\left(EH\right) sécantes au point PP.
La droite (JP)\left(JP\right) coupe l'arête [GH]\left[GH\right] en KK.
La section du cube par le plan PP est la surface limitée par le parallélogramme BIKJBIKJ.
Question 2
Partie B
Dans le repère (O;i;j;k)\left(O;\vec{i} ;\vec{j} ;\vec{k} \right) ,on considère le plan PP d'équation xy+2z4=0x-y+2z-4=0 et Δ\Delta la droite passant par I(1;1;b)I\left(1;1;b\right) et de vecteur directeur u(1;a;1)\vec{u} \left(-1;a;1\right)aa et bb sont des réels.

Si a1a\ne 1 alors pour tout bRb\in R l'intersection de Δ\Delta et PP est un point.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est a.
L'écriture paramétrique de la droite Δ\Delta est {x=t+1y=at+1z=t+b\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {at+1} \\ {z} & {=} & {t+b} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} .
On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ\Delta et le plan PP d'équation xy+2z4=0x-y+2z-4=0.
Il vient alors que :
(PΔ){xy+2z4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-y+2z-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} .
On remplace la valeur de xx, yy et zz dans le plan PP :
(PΔ){t+1at1+2t+2b4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-t+1-at-1+2t+2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
(PΔ){tat+2b4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {t-at+2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
Dans le cas où a=1a=1, on aura (PΔ){2b4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
Cela signifie que l'équation 2b4=02b-4=0 ne dépend pas de tt, donc on n'aura pas de point d'intersection Δ\Delta et PP.
Donc si a1a\ne 1, alors l'intersection de Δ\Delta et PP est un point.
Question 3

Si b=2b=2 alors pour tout aRa\in \mathbb{R} l'intersection de Δ\Delta et PP est un point
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
L'écriture paramétrique de la droite Δ\Delta est {x=t+1y=at+1z=t+2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {at+1} \\ {z} & {=} & {t+2} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}.
On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ\Delta et le plan PP d'équation xy+2z4=0x-y+2z-4=0.
Il vient alors que :
(PΔ){xy+2z4=0x=t+1y=at+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-y+2z-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} .
On remplace la valeur de x,yx,y et zzdans le plan PP
(PΔ){t+1at1+2t+44=0x=t+1y=at+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1-at-1+2t+4-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right.
(PΔ){tat=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t-at=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
(PΔ){t(1a)=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t\left(1-a\right)=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
Dans cette configuration, si a=1a=1 alors l'équation t(1a)=0t\left(1-a\right)=0 deviendra 0=00=0.
Cela signifie que la droite Δ\Delta et le planPPsont confondus si a=1a=1.
Donc l'affirmation « Si b=2b=2 alors pour tout aRa\in R l'intersection de Δ\Delta et PP est un point » est FAUSSE.
Question 4

Si b2b\ne 2 alors pour tout aRa\in \mathbb{R} l'intersection de Δ\Delta et PP est vide.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
L'écriture paramétrique de la droite Δ\Delta est {x=t+1y=at+1z=t+b\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {at+1} \\ {z} & {=} & {t+b} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} .
On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ\Delta et le plan PP d'équation xy+2z4=0x-y+2z-4=0.
Il vient alors que
(PΔ){xy+2z4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-y+2z-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} . On remplace la valeur de x,yx,y et zzdans le plan PP
(PΔ){t+1at1+2t+2b4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1-at-1+2t+2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
(PΔ){tat+2b4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t-at+2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right.
Dans le cas où a=3a=3 , on aura (PΔ){2t+2b4=0x=t+1y=at+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-2t+2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=at+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right. et comme d'après la consigne b2b\ne 2 alors on aura une valeur de tt.
Cela signifie que dans cette configuration la droite Δ\Delta et le plan PP ont un point en commun.
La proposition est donc fausse.
Question 5

Si a=1a=1 et b=2b=2 alors l'intersection de Δ\Delta et PP est vide.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est b.
L'écriture paramétrique de la droite Δ\Delta est {x=t+1y=t+1z=t+2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {t+1} \\ {z} & {=} & {t+2} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}.
On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ\Delta et le plan PP d'équation xy+2z4=0x-y+2z-4=0.
Il vient alors que :
(PΔ){xy+2z4=0x=t+1y=t+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-y+2z-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} .
On remplace la valeur de xx, yy et zz dans le plan PP
(PΔ){t+1t1+2t+44=0x=t+1y=t+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1-t-1+2t+4-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right.
(PΔ){0=0x=t+1y=t+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right.
Cela signifie que le plan PP et la droite Δ\Delta sont confondus.
Question 6

Si a=1a=1 et b2b\ne 2 alors l'intersection de Δ\Delta et PP est vide.
  • Vrai
  • Faux

Correction
La bonne réponse est a.
L'écriture paramétrique de la droite Δ\Delta est {x=t+1y=t+1z=t+b\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {t+1} \\ {z} & {=} & {t+b} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} .
On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ\Delta et le plan PP d'équation xy+2z4=0x-y+2z-4=0.
Il vient alors que :
(PΔ){xy+2z4=0x=t+1y=t+1z=t+b\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-y+2z-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+b} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} .
On remplace la valeur de x,yx,y et zzdans le plan PP
(PΔ){t+1t1+2t+2b4=0x=t+1y=t+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1-t-1+2t+2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right.
(PΔ){2b4=0x=t+1y=t+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2b-4=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right.
(PΔ){b=2x=t+1y=t+1z=t+2\left(P\cap \Delta \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {b=2} \\ {x=-t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t+2} \end{array}\right.
Donc il y a une infinité de solution pour le cas b=2b=2.
Donc pour le cas b2b\ne 2, l'intersection de Δ\Delta et PP est vide.