Partie A On considère un cube ABCDEFGH fourni ci-dessous.
L'espace est rapporté au repère (A;AB;AD;AE). On note P le plan d'équation x+21y+31z−1=0.
Construire, sur la figure que vous reproduirez, la section du cube par le plan P. La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
Correction
Première manière de résoudre l'exercice : On cherche des points communs au plan et au cube. Avec le choix de l'origine du repère en A les équations des plans contenant les faces sont simples : x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 et z=1 Comme une équation du plan P est x+21y+31z=1 . On cherche donc trois nombres de somme 1 ; et si l'un d'entre eux est égal à 1, la somme des deux autres est nulle. Il y a déjà trois possibilités : x=1, d'où x+21y+31z=1 devient 3y+2z=0 le point B(1;0;0) est l'un des points cherchés. y=2, d'où x+31z=0; on obtient le point M(0;2;0) z=3, d'où x+21y=0; on obtient le point N(0;0;3) x=21et y=1 donnent 31z=0 ; on obtient le point I(21;1;0) qui correspond au milieu de [CD] x=0et y=1 donnent 21+31z=1 donc z=23. On obtient le point L(0;1;23) Les droites (IL) et (GH) sont coplanaires et sécantes en K. Les droites (BN) et (EF) sont coplanaires et sécantes en J. La section du cube par P est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ. Le schéma est donné ci-dessous :
Deuxième manière de résoudre l'exercice : Le point B(1;0;0) appartient au plan P car les coordonnées de B vérifient x+21y+31z=1 . Le point M(0;2;0) appartient au plan P. M est le symétrique de A par rapport à D. Le point N(0;0;3) appartient au plan P. N est défini par AN=3AE. (BM)⊂(ABC). (BM) coupe [DC] en un point I. (BN)⊂(ABE). (BN) coupe [EF] en un point L. Les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles donc le plan P les coupe suivant deux droites parallèles. La parallèle à (BJ) passant par I coupe [GH] en K. On peut finir à la règle seulement en traçant (MN) et (EH) sécantes au point P. La droite (JP) coupe l'arête [GH] en K. La section du cube par le plan P est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ.
Question 2
Partie B Dans le repère (O;i;j;k) ,on considère le plan P d'équation x−y+2z−4=0 et Δ la droite passant par I(1;1;b) et de vecteur directeur u(−1;a;1) où a et b sont des réels.
Si a=1 alors pour tout b∈R l'intersection de Δ et P est un point.
Vrai
Faux
Correction
La bonne réponse est a. L'écriture paramétrique de la droite Δ est ⎩⎨⎧xyz===−t+1at+1t+b où t∈R . On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ et le plan P d'équation x−y+2z−4=0. Il vient alors que : (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧x−y+2z−4=0x=−t+1y=at+1z=t+boù t∈R . On remplace la valeur de x, y et z dans le plan P : (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧−t+1−at−1+2t+2b−4=0x=−t+1y=at+1z=t+b (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧t−at+2b−4=0x=−t+1y=at+1z=t+b Dans le cas où a=1, on aura (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧2b−4=0x=−t+1y=at+1z=t+b Cela signifie que l'équation 2b−4=0 ne dépend pas de t, donc on n'aura pas de point d'intersection Δ et P. Donc si a=1, alors l'intersection de Δ et P est un point.
Question 3
Si b=2 alors pour tout a∈R l'intersection de Δ et P est un point
Vrai
Faux
Correction
La bonne réponse est b. L'écriture paramétrique de la droite Δ est ⎩⎨⎧xyz===−t+1at+1t+2 où t∈R. On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ et le plan P d'équation x−y+2z−4=0. Il vient alors que : (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧x−y+2z−4=0x=−t+1y=at+1z=t+2où t∈R . On remplace la valeur de x,y et zdans le plan P (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧−t+1−at−1+2t+4−4=0x=−t+1y=at+1z=t+2 (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧t−at=0x=−t+1y=at+1z=t+b (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧t(1−a)=0x=−t+1y=at+1z=t+b Dans cette configuration, si a=1 alors l'équation t(1−a)=0 deviendra 0=0. Cela signifie que la droite Δ et le planPsont confondus si a=1. Donc l'affirmation « Si b=2 alors pour tout a∈R l'intersection de Δ et P est un point » est FAUSSE.
Question 4
Si b=2 alors pour tout a∈R l'intersection de Δ et P est vide.
Vrai
Faux
Correction
La bonne réponse est b. L'écriture paramétrique de la droite Δ est ⎩⎨⎧xyz===−t+1at+1t+b où t∈R . On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ et le plan P d'équation x−y+2z−4=0. Il vient alors que (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧x−y+2z−4=0x=−t+1y=at+1z=t+boù t∈R . On remplace la valeur de x,y et zdans le plan P (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧−t+1−at−1+2t+2b−4=0x=−t+1y=at+1z=t+b (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧t−at+2b−4=0x=−t+1y=at+1z=t+b Dans le cas où a=3 , on aura (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧−2t+2b−4=0x=−t+1y=at+1z=t+b et comme d'après la consigne b=2 alors on aura une valeur de t. Cela signifie que dans cette configuration la droite Δ et le plan P ont un point en commun. La proposition est donc fausse.
Question 5
Si a=1 et b=2 alors l'intersection de Δ et P est vide.
Vrai
Faux
Correction
La bonne réponse est b. L'écriture paramétrique de la droite Δ est ⎩⎨⎧xyz===−t+1t+1t+2 où t∈R. On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ et le plan P d'équation x−y+2z−4=0. Il vient alors que : (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧x−y+2z−4=0x=−t+1y=t+1z=t+2où t∈R . On remplace la valeur de x, y et z dans le plan P (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧−t+1−t−1+2t+4−4=0x=−t+1y=t+1z=t+2 (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧0=0x=−t+1y=t+1z=t+2 Cela signifie que le plan P et la droite Δ sont confondus.
Question 6
Si a=1 et b=2 alors l'intersection de Δ et P est vide.
Vrai
Faux
Correction
La bonne réponse est a. L'écriture paramétrique de la droite Δ est ⎩⎨⎧xyz===−t+1t+1t+b où t∈R . On cherche les coordonnées du point d'intersection entre Δ et le plan P d'équation x−y+2z−4=0. Il vient alors que : (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧x−y+2z−4=0x=−t+1y=t+1z=t+boù t∈R . On remplace la valeur de x,y et zdans le plan P (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧−t+1−t−1+2t+2b−4=0x=−t+1y=t+1z=t+2 (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧2b−4=0x=−t+1y=t+1z=t+2 (P∩Δ)⇔⎩⎨⎧b=2x=−t+1y=t+1z=t+2 Donc il y a une infinité de solution pour le cas b=2. Donc pour le cas b=2, l'intersection de Δ et P est vide.