La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Exercice 2 - Exercice 1

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L'espace EE est rapporté au repère orthonormal (O;i;j;k)\left(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}\right).
Les points AA, BB et CC ont pour coordonnées respectives : A(3;2;2)A(3;-2;2), B(6;1;5)B(6;1;5), C(6;2;1)C(6;-2;-1)
Question 1
Partie A

Montrer que le triangle ABCABC est un triangle rectangle.

Correction
On a AB(3;3;3)\vec{AB} \left(3;3;3\right), AC(3;0;3)\vec{AC} \left(3;0;-3\right).
Le repère étant orthonormal, calculons ABAC=9+09=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} =9+0-9=0.
Les vecteurs sont orthogonaux, les droites (AB)\left(AB\right) et (AC)\left(AC\right) sont perpendiculaires, le triangle ABCABC est rectangle en AA .
Question 2

Soit PP le plan d'équation cartésienne x+y+z3=0x+y+z-3=0.
Montrer que PP est orthogonal à la droite (AB)(AB) et passe par le point AA.

Correction
Le plan PP a un vecteur normal n(1;1;1)\vec{n}\left(1;1;1\right); donc n=13AB\vec{n} =\frac{1}{3} \vec{AB} ; les vecteurs sont colinéaires donc la droite (AB)\left(AB\right) est orthogonale au plan PP.
Vérifions maintenant si le point AA appartient au plan (P)\left(P\right), il vient alors que :
xA+yA+zA3=32+23=0x_{A} +y_{A} +z_{A} -3=3-2+2-3=0

Ainsi le point AA appartient au plan (P)\left(P\right).
Finalement : (P)\left(P\right) est orthogonal à la droite (AB)\left(AB\right) et passe par le pointAA.
Question 3

Soit PP' le plan orthogonal à la droite (AC)(AC) et passe par le point AA.
Déterminer une équation cartésienne de PP'.

Correction
AC\vec{AC} est un vecteur normal au plan PP', donc une équation de ce plan est de la forme 3x3z+d=03x-3z+d=0.
Or le point AA appartient au plan (P)\left(P'\right) d'où :
3xA3zA+d=03x_{A} -3z_{A} +d=0 équivaut successivement à
3×33×2+d=03\times 3-3\times 2+d=0
d=3d=-3
Il en résulte que l'équation cartésienne de PP' est : 3x3z3=03x-3z-3=0 ou encore
xz1=0x-z-1=0
.
Question 4

Vérifier que la représentation paramétrique de la droite (Δ)\left(\Delta \right) suivante :
Δ:{x=t+1y=2t+2z=t\Delta :\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t+1} \\ {y} & {=} & {-2t+2} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. est bien la droite d'intersection des plans PP et PP'.

Correction
Vérifions que la droite (Δ)\left(\Delta \right) est confondue avec le plan PP et également confondue avec le plan PP'.
  • D'une part : vérifions si (Δ)\left(\Delta \right) est confondue avec le plan PP.
  • Pour cela, il suffit de remplacer les xx, yy et zz du plan PP par les xx, yy et zz de la droite (Δ)\left(\Delta \right)
    Cela donne :
    (ΔP)(t+1)+(2t+2)+t3=0\left(\Delta \cap P\right)\Leftrightarrow \left(t+1\right)+\left(-2t+2\right)+t-3=0
    Il vient alors que :
    t+12t+2+t3=0t+1-2t+2+t-3=0 équivaut successivement à
    0=00=0

    Cela signifie que la droite (Δ)\left(\Delta \right) est confondue avec le plan PP.
  • D'autre part : vérifions si (Δ)\left(\Delta \right) est confondue avec le plan PP'.
  • Pour cela, il suffit de remplacer les xx, yy et zz du plan PP' par les xx, yy et zz de la droite (Δ)\left(\Delta \right)
    Cela donne :
    (ΔP)(t+1)(t)1=0\left(\Delta \cap P'\right)\Leftrightarrow \left(t+1\right)-\left(t\right)-1=0
    Il vient alors que :
    t+1t1=0t+1-t-1=0 équivaut successivement à
    0=00=0

    Cela signifie que la droite (Δ)\left(\Delta \right) est confondue avec le plan PP'.
    Ainsi la droite (Δ)\left(\Delta \right) est confondue avec le plan PP et également confondue avec le plan PP'.
    Donc (Δ)\left(\Delta \right) est bien la droite d'intersection des plans PP et PP'.
    Question 5

    Soit DD le point de coordonnée (0;4;1)(0;4;-1).
    Montrer que la droite (AD)(AD) est perpendiculaire au plan (ABC)(ABC).

    Correction
    On a AD(3;6;3)\vec{AD} \left(-3;6;-3\right)
    On a ABAD=9+189=0\vec{AB} \cdot \vec{{\text AD}} =-9+18-9=0; les vecteurs sont orthogonaux.
    De même ADAC=9+09=0\vec{AD} \cdot \vec{AC} =9+0-9=0; les vecteurs sont orthogonaux.
    Conclusion : le vecteur AD\vec{AD} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)\left(ABC\right), donc la droite (AD)\left(AD\right) est orthogonale à ce plan.
    Question 6

    Calculer le volume du tétraèdre ABDCABDC.

    Correction
    En prenant ABCABC pour base et DD comme sommet, [AD]\left[AD\right] est la hauteur de ce tétraèdre.
    Le volume VV du tétraèdre est :
    aire(ABC)×AD3=12×AB×AC×AD3\frac{{\text{aire}(ABC)}\times AD}{3} =\frac{\frac{1}{2} \times {\text AB}\times {\text AC}\times {\text AD}}{3}

    Or,
    AB2=32+32+32=3×9{\text AB}^{{\text 2}} =3^{2} +3^{2} +3^{2} =3\times 9, donc AB=33{\text AB}={\text 3}\sqrt{{\text 3}} ;
    AC2=32+32=2×9{\text AC}^{{\text 2}} =3^{2} +3^{2} =2\times 9, donc AC=32{\text AC}={\text 3}\sqrt{{\text 2}} ;
    AD2=9+36+9=36.{\text AD}^{{\text 2}} =9+36+9=3\sqrt{6} .
    Finalement : V=12×33×32×363=27×33=27V=\frac{\frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{6} }{3} =\frac{27\times 3}{3} =27.