La fonction logarithme

QCM

Exercice 1

On considère la fonction ff définie sur l’intervalle ]0;3]\left]0; 3\right] par f(x)=x2(1ln(x))f\left(x\right)=x^{2} \left(1-\ln \left(x\right)\right)
On donne ci-dessous sa courbe représentative C\mathscr{C}.
On admet que ff est deux fois dérivable sur ]0;3]\left]0; 3\right], on note ff' sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde ff'' est définie sur ]0;3]\left]0; 3\right] par : f(x)=12ln(x)f''\left(x\right)=-1-2\ln \left(x\right)
1

Sur ]0;3]\left]0; 3\right], C\mathscr{C} coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
  • ee
  • 00 et ee
  • 12e+1\frac{1}{2}e+1

Correction
2

f(x)=0f''\left(x\right)=0 lorsque :
  • ee
  • 1e\frac{1}{\sqrt{e} }
  • e\sqrt{e}

Correction
3

Pour tout nombre réel xx de l’intervalle ]0;3]\left]0; 3\right] on a :
  • f(x)=x(12ln(x))f'\left(x\right)=x\left(1-2\ln \left(x\right)\right)
  • f(x)=2xf'\left(x\right)=-\frac{2}{x}
  • f(x)=2f'\left(x\right)=-2

Correction
4

Une équation de la tangente à C\mathscr{C} au point d’abscisse ee s’écrit :
  • y=x+ey=-x+e
  • y=exy=-ex
  • y=ex+e2y=-ex+e^{2}

Correction

Exercice 2

Soit xx un réel strictement positif.
On considère l’équation suivante : ln(x2)ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
1

x=2ex=\frac{2}{e} est l’unique solution de cette équation . Est ce que cette affirmation est vraie? Vous devez impérativement justifié .

Correction
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