La fonction logarithme

Logarithme, primitives et suites : vu au bac

Exercice 1

Soient ff et FF les fonctions définies sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[ par : f(x)=1x+ln(x)xf\left(x\right)=\frac{1}{x} +\frac{\ln \left(x\right)}{x} et F(x)=12(ln(x))2+ln(x)F\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +\ln \left(x\right).
1

Démontrer que la fonction FF est une primitive de ff sur II.

Correction
2

Déterminer la primitive de ff qui s'annule pour x=ex=e.

Correction

Exercice 2

Partie A.
Soit ff la fonction définie sur I=[1;+[I=\left[1;+\infty \right[ par : f(x)=1xln(x)f\left(x\right)=\frac{1}{x}\ln \left(x\right). On note CC la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé.
1

Démontrer que la courbe CC admet une asymptote horizontale.

Correction
2

Déterminer la fonction dérivée ff' de la fonction ff sur [1;+[\left[1;+\infty \right[.

Correction
3

Étudier les variations de la fonction ff sur [1;+[\left[1;+\infty \right[.

Correction
Partie B.
On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par : un=121xn+1ln(x)dxu_{n} =\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(x\right)dx pour tout entier naturel nn.
4

Démontrer que u0=12[ln(2)]2u_{0} =\frac{1}{2} \left[\ln \left(2\right)\right]^{2} . Interpréter graphiquement ce résultat.

Correction
5

Prouver que, pour tout entier naturel nn et pour tout nombre réel xx de l’intervalle [1;2]\left[1;2\right], on a : 01xn+1ln(x)1xn+1ln(2)0\le \frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(x\right)\le \frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(2\right).

Correction
6

En déduire que, pour tout entier naturel nn, on a : 0unln(2)n(112n)0\le u_{n} \le \frac{\ln \left(2\right)}{n} \left(1-\frac{1}{2^{n} } \right).

Correction
7

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction
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