La fonction logarithme

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)+ax+bf\left(x\right)=\ln \left(x\right)+ax+baa et bb sont deux réels.
Nous savons que f(1)=2f\left(1\right)=2 et f(1)=5f'\left(1\right)=5.
1

Déterminer les valeurs des réels aa et bb.

Correction

Exercice 2

On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par g(x)=2x31+2ln(x)g\left(x\right)=2x^{3} -1+2\ln \left(x\right).
1

Etudier les variations de la fonction gg sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
2

Justifier qu'il existe un unique réel α]0;+[\alpha \in \left]0;+\infty \right[ tel que g(α)=0g\left(\alpha \right)=0.
Donner une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
3

En déduire le signe de la fonction gg sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2xln(x)x2f\left(x\right)=2x-\frac{\ln \left(x\right)}{x^{2} } .
4

Déterminer les limites de la fonction ff en 00 et en ++\infty.

Correction
5

Justifier que f(x)f'\left(x\right) a le même signe que g(x)g\left(x\right).

Correction
6

En déduire le tableau de variation de la fonction ff.

Correction

Exercice 3

On appelle ff la fonction définie sur l'intervalle ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[par f(x)=ln(1+2x)f\left(x\right)=\ln \left(1+2x\right).
1

Justifier que ff est strictement croissante sur ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[.

Correction
2

Déterminer la limite de ff aux bornes de son domaine de définition.

Correction
Soit gg la fonction définie sur ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[ par g(x)=f(x)xg\left(x\right)=f\left(x\right)-x
3

Etudier les variations de gg.
On admet que limx12+g(x)=\lim\limits_{x\to \frac{1}{2} ^{+} } g\left(x\right)=-\infty et limx+g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=-\infty .

Correction
4

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet deux solutions 00 et β\beta appartenant à [1;2]\left[1;2\right].

Correction
5

En déduire le signe de gg sur ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[.

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=ln(1+ex)f\left(x\right)=\ln \left(1+e^{-x} \right).
On note Γ\Gamma sa courbe représentative dans un repère orthonormal (0;i;j)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right).
1

Déterminer les limites de la fonction ff en -\infty et en ++\infty .

Correction
2

Etudier le sens de variation de ff.

Correction
3

Démontrer que pour tout nombre réel xx : f(x)=x+ln(ex+1)f\left(x\right)=-x+\ln \left(e^{x} +1 \right).

Correction

Exercice 5

On considère la fonctionff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[, f(x)=ln(1+1x)xf\left(x\right)=\ln \left(1+\frac{1}{x} \right)-x.
1

Déterminer les limites de ff en 00 et en ++\infty .

Correction
2

Etudiez les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
3

Montrer qu'il existe un unique réel α]0;+[\alpha \in \left]0;+\infty \right[ tel que f(α)=0f\left(\alpha \right)=0.

Correction
4

Déterminer une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

En déduire le signe de ff.

Correction
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