D'après la question
1, nous avons démontré que
x∈[0;+∞[, on a :
ln(x+1)≥0 . Cette inégalité est vraie également sur l'intervalle
[0;1] .
De plus , pour tout
x∈[0;1] , on a
x≥0 ce qui implique que
xn≥0.
Il en résulte donc, que pour tout
x∈[0;1] , on a :
xnln(1+x)≥0Positivité de l'intégrale. Soit
f une fonction continue sur un intervalle
[a;b].
- Si f(x)≥0 sur [a;b] alors ∫abf(x)dx≥0
Nous venons de voir, juste avant l'encadré rose que pour tout
x∈[0;1] , on a :
xnln(1+x)≥0On peut conclure que :
∫01xnln(1+x)dx≥0.
Finalement :
ce qui signifie que la suite
(un) est minorée par
0.