Pour tout réel
x appartenant à l'intervalle
[0;+∞[, on pose la fonction
dk(x)=fk(x)−ek.
Ainsi
dk est dérivable sur
[0;+∞[, il vient alors que :
dk′(x)=fk′(x). Donc le signe de
dk′ est le même que celui de
fk′.
On a vu à la question
7, que la fonction
fk′ est donc positive sur
[0;1] et négative sur
[1;+∞[.
Ainsi, la fonction
dk′ est donc positive sur
[0;1] et négative sur
[1;+∞[.
On en déduit le tableau de variation de
dk.
On a ci-dessous :
De plus,
- dk(0)=fk(0)−ek=−ek car fk(0)=0.
- On sait que x→+∞limfk(x)=0 d'où x→+∞limdk(x)=−ek.
dk(1)=fk(1)−ekdk(1)=ln(e1+k)−1−ekdk(1)=ln(e×(ee+k))−1−ekdk(1)=ln(e)+ln(ee+k)−1−ekdk(1)=1+ln(ee+ek)−1−ekdk(1)=ln(1+ek)−ek.Or
ek≥0, d'après la question pour tout réel
x positif ou nul
ln(1+x)≤x.
Ainsi :
ln(1+ek)≤ekAutrement dit
dk(1)≤0.
Finalement, pour tout réel
x positif ou nul, on peut affirmer que
dk(x)≤0.
Autrement dit,
fk(x)−ek≤0 alors
fk(x)≤ek.