La fonction logarithme

Exercice 4 - Exercice 1

1 min
0
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1

L'intégrale I=1eln(x)xdxI=\int _{1}^{e}\frac{\ln \left(x\right)}{x} dx est égale à :
  • 12\frac{1}{2}
  • ee
  • 00
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est a.
On reconnaît la forme uuu'u dont une primitive est 12u2\frac{1}{2} u^{2} .
Ici u(x)=ln(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et u(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x}
Il vient alors que :
I=1eln(x)xdxI=\int _{1}^{e}\frac{\ln \left(x\right)}{x} dx équivaut successivement à
I=1e1xln(x)dxI=\int _{1}^{e}\frac{1}{x} \ln \left(x\right)dx
I=[12ln2(x)]1eI=\left[\frac{1}{2} \ln ^{2} \left(x\right)\right]_{1}^{e}
I=[12(ln(e))212(ln(1))2]I=\left[\frac{1}{2} \left(\ln \left(e\right)\right)^{2} -\frac{1}{2} \left(\ln \left(1\right)\right)^{2} \right]
I=[12×1212×02]I=\left[\frac{1}{2} \times 1^{2} -\frac{1}{2} \times 0^{2} \right]
I=12I=\frac{1}{2}
Question 2
prise sur spé cette question

Le nombre H=ln(e24)ln(e+2)H=\ln \left(e^{2} -4\right)-\ln \left(e+2\right) se simplifie comme :
  • ln(e2)\ln \left(e-2\right)
  • ln(e+2)\ln \left(e+2\right)
  • ln(e2e2)\ln \left(e^{2} -e-2\right)
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est a.
H=ln(e24)ln(e+2)H=\ln \left(e^{2} -4\right)-\ln \left(e+2\right) équivaut successivement à
H=ln(e24e+2)H=\ln \left(\frac{e^{2} -4}{e+2} \right)
H=ln(e222e+2)H=\ln \left(\frac{e^{2} -2^{2} }{e+2} \right)
H=ln((e2)(e+2)e+2)H=\ln \left(\frac{\left(e-2\right)\left(e+2\right)}{e+2} \right)
H=ln(e2)H=\ln \left(e-2\right)
Question 3
mise sur spé

L'intégrale G=121+xx2dxG=\int _{1}^{2}\frac{1+x}{x^{2} } dx est égale à
  • 12ln(2)\frac{1}{2} -\ln \left(2\right)
  • 12+ln(2)\frac{1}{2} +\ln \left(2\right)
  • ln(2)\ln \left(2\right)
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est b.
G=121+xx2dxG=\int _{1}^{2}\frac{1+x}{x^{2} } dx équivaut successivement à
G=12(1x2+xx2)dxG=\int _{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } \right) dx
G=12(1x2+1x)dxG=\int _{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2} } +\frac{1}{x} \right) dx
G=[1x+ln(x)]12G=\left[-\frac{1}{x} +\ln \left(x\right)\right]_{1}^{2}
G=[(12+ln(2))(11+ln(1))]G=\left[\left(-\frac{1}{2} +\ln \left(2\right)\right)-\left(-\frac{1}{1} +\ln \left(1\right)\right)\right]
G=[12+ln(2)+1]G=\left[-\frac{1}{2} +\ln \left(2\right)+1\right]
G=12+ln(2)G=\frac{1}{2} +\ln \left(2\right)
Question 4

Soit nn un entier naturel, l'ensemble des solutions de l'inéquation 2×(4)n80002\times \left(4\right)^{n} \ge 8000 est :
  • n5,7n\ge 5,7
  • n5,98n\ge 5,98
  • n6n\ge 6
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est c.
2×(4)n80002\times \left(4\right)^{n} \ge 8000 équivaut successivement à
(4)n80002\left(4\right)^{n} \ge \frac{8000}{2}
(4)n4000\left(4\right)^{n} \ge 4000
ln(4)nln(4000)\ln \left(4\right)^{n} \ge \ln \left(4000\right)
n×ln(4)ln(4000)n\times \ln \left(4\right)\ge \ln \left(4000\right)
nln(4000)ln(4)n\ge \frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)}
On cherche la valeur de ln(4000)ln(4)\frac{\ln \left(4000\right)}{\ln \left(4\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n6n\ge 6
(à la calculatrice on obtient ln(19)ln(0,68)5,98\frac{\ln \left(\frac{1}{9} \right)}{\ln \left(0,68\right)} \approx 5,98 et on arrondi à l'entier supérieur)
Question 5

L'expression M=ln(163)4ln(6)+3ln(62)M=\ln \left(\frac{1}{6^{3} } \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right) est égale à :
  • M=ln(6)M=\ln \left(6\right)
  • M=2ln(6)M=-2\ln \left(6\right)
  • M=4ln(6)M=4\ln \left(6\right)
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est a.
M=ln(163)4ln(6)+3ln(62)M=\ln \left(\frac{1}{6^{3} } \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right) équivaut successivement à
M=ln((16)3)4ln(6)+3ln(62)M=\ln \left(\left(\frac{1}{6} \right)^{3} \right)-4\ln \left(\sqrt{6} \right)+3\ln \left(6^{2} \right) car 163=(16)3\frac{1}{6^{3} } =\left(\frac{1}{6} \right)^{3}
M=3ln(16)4×12ln(6)+3×2ln(6)M=3\ln \left(\frac{1}{6} \right)-4\times \frac{1}{2} \ln \left(6\right)+3\times 2\ln \left(6\right)
M=3ln(16)2ln(6)+6ln(6)M=3\ln \left(\frac{1}{6} \right)-2\ln \left(6\right)+6\ln \left(6\right)
M=3ln(6)2ln(6)+6ln(6)M=-3\ln \left(6\right)-2\ln \left(6\right)+6\ln \left(6\right)
M=ln(6)M=\ln \left(6\right)
Question 6

La fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=3(ln(x))2ln(x)f\left(x\right)=3\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -\ln \left(x\right) a pour dérivée :
  • f(x)=6ln(x)1xf'\left(x\right)=\frac{6\ln \left(x\right)-1}{x}
  • f(x)=3x21xf'\left(x\right)=-\frac{3}{x^{2} } -\frac{1}{x}
  • f(x)=6xln(x)1xf'\left(x\right)=\frac{6x\ln \left(x\right)-1}{x}
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est a.
On reconnaît la forme de (un)=nuun1\left(u^{n} \right)^{'} =nu'u^{n-1}
Il vient alors que :
f(x)=3×2×1x×ln(x)1xf'\left(x\right)=3\times 2\times \frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\frac{1}{x}
f(x)=6x×ln(x)1xf'\left(x\right)=\frac{6}{x} \times \ln \left(x\right)-\frac{1}{x}
f(x)=6ln(x)1xf'\left(x\right)=\frac{6\ln \left(x\right)-1}{x}
Question 7

Soit ff définie sur ]3;3[\left]-3;3\right[ par f(x)=ln(3x3+x)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{3-x}{3+x} \right) alors :
  • f(x)=13x13+xf'\left(x\right)=\frac{1}{3-x} -\frac{1}{3+x}
  • f(x)=6(3+x)(3x)f'\left(x\right)=\frac{-6}{\left(3+x\right)\left(3-x\right)}
  • f(x)=6(3+x)(3x)f'\left(x\right)=\frac{6}{\left(3+x\right)\left(3-x\right)}
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est b.
On sait que la dérivée de ln(u(x))\ln \left(u\left(x\right)\right) est u(x)u(x)\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} .
Ici, nous avons u(x)=3x3+xu\left(x\right)=\frac{3-x}{3+x} .
Commençons par calculer la dérivée de u(x)=3x3+xu\left(x\right)=\frac{3-x}{3+x}
On sait que (UV)=UVUVV2\left(\frac{U}{V} \right)^{'} =\frac{U'V-UV'}{V^{2} } avec U(x)=3xU\left(x\right)=3-x et V(x)=3+xV\left(x\right)=3+x.
Ainsi,
U(x)=1U'\left(x\right)=-1 et V(x)=1V\left(x\right)=1.
Il en résulte que :
u(x)=1×(3+x)(3x)×1(3+x)2u^{'} \left(x\right)=\frac{-1\times \left(3+x\right)-\left(3-x\right)\times 1}{\left(3+x\right)^{2} }
u(x)=3x3+x(3+x)2u^{'} \left(x\right)=\frac{-3-x-3+x}{\left(3+x\right)^{2} }
u(x)=6(3+x)2u^{'} \left(x\right)=\frac{-6}{\left(3+x\right)^{2} }
Maintenant , nous pouvons calculez la dérivée de f(x)=ln(3x3+x)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{3-x}{3+x} \right) avec u(x)=3x3+xu\left(x\right)=\frac{3-x}{3+x} et u(x)=6(3+x)2u^{'} \left(x\right)=\frac{-6}{\left(3+x\right)^{2} } .
Il vient alors,
f(x)=(6(3+x)2)(3x3+x)f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{-6}{\left(3+x\right)^{2} } \right)}{\left(\frac{3-x}{3+x} \right)} équivaut successivement à
f(x)=6(3+x)2×3+x3xf'\left(x\right)=\frac{-6}{\left(3+x\right)^{2} } \times \frac{3+x}{3-x}
(ab)(cd)=ab×dc\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
f(x)=6(3+x)(3x)f'\left(x\right)=\frac{-6}{\left(3+x\right)\left(3-x\right)}
Question 8

Soit ff définie sur ];5]\left]-\infty ;5\right] par f(x)=ln(x2+1)xf\left(x\right)=\ln \left(x^{2} +1\right)-x alors :
  • f(x)=(x1)2x2+1f'\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^{2} }{x^{2} +1}
  • limxf(x)=+\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=+\infty
  • L'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ];5]\left]-\infty ;5\right]
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est c.
On calcule la dérivée de ff
f(x)=2xx2+11f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} +1} -1
f(x)=2xx2+1x2+1x2+1f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} +1} -\frac{x^{2} +1}{x^{2} +1}
f(x)=2x(x2+1)x2+1f'\left(x\right)=\frac{2x-\left(x^{2} +1\right)}{x^{2} +1}
f(x)=2xx21x2+1f'\left(x\right)=\frac{2x-x^{2} -1}{x^{2} +1}
f(x)=x2+2x1x2+1f'\left(x\right)=\frac{-x^{2} +2x-1}{x^{2} +1}
f(x)=(x1)2x2+1f'\left(x\right)=\frac{-\left(x-1\right)^{2} }{x^{2} +1}

Pour tout réel x];5]x\in \left]-\infty ;5\right], on a :
(x1)20\left(x-1\right)^{2} \ge 0 donc (x1)20-\left(x-1\right)^{2} \le 0 et x2+1>0x^{2} +1>0.
Il en résulte que f(x)0f'\left(x\right)\le 0.
La fonction ff est décroissante sur x];5]x\in \left]-\infty ;5\right].
De plus,
limxln(x2+1)x=+\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2} +1\right)-x=+\infty car limxln(x2+1)=+\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2} +1\right)=+\infty et limxx=+\lim\limits_{x\to -\infty } -x=+\infty
f(5)=ln(52+1)5=ln(26)51,74f\left(5\right)=\ln \left(5^{2} +1\right)-5=\ln \left(26\right)-5\approx -1,74
On traduit tout cela dans un tableau de variation
Dressons le tableau de variation en intégrant les limites.
Sur ];5]\left]-\infty ;5\right], la fonction ff est continue et strictement décroissante.
De plus, limxf(x)=+\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=+\infty et f(5)=ln(26)5f\left(5\right)=\ln \left(26\right)-5 .
Or 0[ln(26)5;+[0\in \left[\ln \left(26\right)-5;+\infty \right[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans];5]\left]-\infty ;5\right] tel que f(x)=0f\left(x\right)=0.
Question 9

On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) de réels strictement positifs, définie par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, on a ln(un+1)=1+ln(un)\ln \left(u_{n+1} \right)=1+\ln \left(u_{n} \right).
On peut affirmer que :
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmético-géométrique
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) n'est ni arithmétique ni géométrique

Correction
La bonne réponse est a.
Pour tout entier naturel nn , on a :
ln(un+1)=1+ln(un)\ln \left(u_{n+1} \right)=1+\ln \left(u_{n} \right) équivaut successivement à
ln(un+1)=ln(e)+ln(un)\ln \left(u_{n+1} \right)=\ln \left(e\right)+\ln \left(u_{n} \right)
ln(e)=1\ln \left(e\right)=1
ln(un+1)=ln(e×un)\ln \left(u_{n+1} \right)=\ln \left(e\times u_{n} \right)
ln(a)+ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(ab\right)
un+1=eunu_{n+1} =eu_{n}
La suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique de raison q=eq=e et de premier terme u0=2u_{0} =2.
Question 10

Soient aa et bb deux réels.
On considère la fonction définie par f(x)=ln(ax+b)f\left(x\right)=\ln \left(ax+b\right) tel que f(2)=0f\left(2\right)=0 et f(3)=34f'\left(3\right)=\frac{3}{4} .
Alors :
  • f(x)=ln(3x+5)f\left(x\right)=\ln \left(3x+5\right)
  • f(x)=ln(3x5)f\left(x\right)=\ln \left(-3x-5\right)
  • f(x)=ln(3x5)f\left(x\right)=\ln \left(3x-5\right)
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est c.
D'une part :
f(2)=0f\left(2\right)=0 équivaut successivement à
ln(2a+b)=1\ln \left(2a+b\right)=1
eln(2a+b)=e1e^{\ln \left(2a+b\right)} =e^{1}
2a+b=12a+b=1
D'autre part :
On commence par calculer la dérivée de ff.
Il vient alors que : f(x)=aax+bf'\left(x\right)=\frac{a}{ax+b} .
Or f(3)=34f'\left(3\right)=\frac{3}{4} équivaut successivement à
a3a+b=34\frac{a}{3a+b} =\frac{3}{4}
AB=CDAD=BC\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow AD=BC
4a=3(3a+b)4a=3\left(3a+b\right)
4a=9a+3b4a=9a+3b
5a+3b=05a+3b=0

On a un système de deux équations à deux inconnues à résoudre
{2a+b=15a+3b=0\left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {+} & {b} & {=} & {1} \\ {5a} & {+} & {3b} & {=} & {0} \end{array}\right.
Avec la 11ère ligne on a : 2a+b=1b=12a2a+b=1\Leftrightarrow b=1-2a.
On remplace ensuite dans la 22ème ligne, ce qui nous donne :
5a+3b=05a+3b=0 équivaut successivement à
5a+3(12a)=05a+3\left(1-2a\right)=0
5a+36a=05a+3-6a=0
a=3.a=3.
Or b=12ab=1-2a donc b=5b=-5.
Ainsi :
f(x)=ln(3x5)f\left(x\right)=\ln \left(3x-5\right)
Question 11

Pour tout x>0x>0, l'équation ln(x+2)+3x=5\frac{\ln \left(x+2\right)+3}{x} =5 est équivalente à :
  • x=e5x+32x=\frac{e^{5x+3} }{2}
  • x=e5x5x=e^{5x-5}
  • x=e5x32x=e^{5x-3} -2
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est c.
ln(x+2)+3x=5\frac{\ln \left(x+2\right)+3}{x} =5 équivaut successivement à
ln(x+2)+3=5x\ln \left(x+2\right)+3=5x
ln(x+2)=5x3\ln \left(x+2\right)=5x-3
eln(x+2)=e5x3e^{\ln \left(x+2\right)} =e^{5x-3}
x+2=e5x3x+2=e^{5x-3}
x=e5x32x=e^{5x-3} -2
Question 12

La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln(1+3ex+e)f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{1+3e^{x} } +e\right) est :
  • Strictement croissante sur R\mathbb{R}
  • Strictement croissante sur R\mathbb{R}
  • Croissante sur ];0]\left]-\infty ;0\right] et décroissante sur [0;+[\left[0;+\infty \right[
  • Décroissante sur ];0]\left]-\infty ;0\right] et croissante sur [0;+[\left[0;+\infty \right[

Correction
La bonne réponse est c.
(ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u} et (u)=u2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
Soit f(x)=ln(1+3ex+e)f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{1+3e^{x} } +e\right), sa dérivée ff' est :
f(x)=(3ex21+3ex)1+3ex+ef'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{3e^{x} }{2\sqrt{1+3e^{x} } } \right)}{\sqrt{1+3e^{x} } +e}
f(x)=3ex21+3ex(1+3ex+e)f'\left(x\right)=\frac{3e^{x} }{2\sqrt{1+3e^{x} } \left(\sqrt{1+3e^{x} } +e\right)}

On vérifie aisément que tous les termes qui composent ff' sont strictement positifs.
Il en résulte que ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
Question 13

limx2+ln(x2)6xx2\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{\ln \left(x-2\right)}{6-x-x^{2} } est égale à :
  • -\infty
  • 00
  • ++\infty
  • Aucune des réponses précédentes n'est juste.

Correction
La bonne réponse est c.
Si on calcule la limite au numérateur et au dénominateur on tombe sur une forme indéterminée de la forme 0\frac{-\infty }{0} .
On va factoriser le dénominateur.
On a : 6xx2=(x2)(x3)6-x-x^{2} =\left(x-2\right)\left(-x-3\right).
Ainsi :
limx2+ln(x2)6xx2=limx2+ln(x2)(x2)(x3)\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{\ln \left(x-2\right)}{6-x-x^{2} } =\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{\ln \left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-3\right)}
limx2+ln(x2)6xx2=limx2+[ln(x2)(x2)×1(x3)]\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{\ln \left(x-2\right)}{6-x-x^{2} } =\lim\limits_{x\to 2^{+} } \left[\frac{\ln \left(x-2\right)}{\left(x-2\right)} \times \frac{1}{\left(-x-3\right)} \right]
On va s'intéresser à la limite de ln(x2)(x2)\frac{\ln \left(x-2\right)}{\left(x-2\right)} .
Il vient que : limx2+ln(x2)(x2)=limx2+[ln(x2)×(1(x2))]\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{\ln \left(x-2\right)}{\left(x-2\right)} =\lim\limits_{x\to 2^{+} } \left[\ln \left(x-2\right)\times \left(\frac{1}{\left(x-2\right)} \right)\right]
limx2+ln(x2)=limx2+1x2=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 2^{+} } \ln \left(x-2\right)} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{1}{x-2} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit
limx2+[ln(x2)×(1(x2))]=\lim\limits_{x\to 2^{+} } \left[\ln \left(x-2\right)\times \left(\frac{1}{\left(x-2\right)} \right)\right]=-\infty
.
De plus,
limx2+1x3=15\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{1}{-x-3} =-\frac{1}{5}
Par produit,
limx2+[ln(x2)(x2)×1(x3)]=+\lim\limits_{x\to 2^{+} } \left[\frac{\ln \left(x-2\right)}{\left(x-2\right)} \times \frac{1}{\left(-x-3\right)} \right]=+\infty
Finalement,
limx2+ln(x2)6xx2=+\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{\ln \left(x-2\right)}{6-x-x^{2} } =+\infty
Question 14

La solution exacte de l'équation : (12)x=310\left(\frac{1}{2} \right)^{x} =\frac{3}{10} est :
  • x=ln(3)+ln(10)ln(2)x=\frac{-\ln \left(3\right)+\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}
  • x=ln(3)ln(10)ln(2)x=\frac{\ln \left(3\right)-\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}
  • x=ln(3)+ln(10)ln(2)x=\frac{\ln \left(3\right)+\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}
  • 1,7369655941,736965594

Correction
La bonne réponse est a.
(12)x=310\left(\frac{1}{2} \right)^{x} =\frac{3}{10} équivaut successivement à :
xln(12)=ln(310)x\ln \left(\frac{1}{2}\right)= \ln \left(\frac{3}{10}\right)
D'où :
x=ln(310)ln(12)x= \frac{\ln \left(\frac{3}{10}\right)}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}
x=ln(3)ln(10)ln(1)ln(2)x=\frac{\ln \left(3\right)-\ln \left(10\right)}{\ln \left(1\right)-\ln \left(2\right)}
x=ln(3)ln(10)ln(2)x=\frac{\ln \left(3\right)-\ln \left(10\right)}{-\ln \left(2\right)}
x=ln(3)+ln(10)ln(2)x=\frac{-\ln \left(3\right)+\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}