Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:0<un<βEtape d'initialisationOn sait que
u0=1 ainsi
0<u0<β car
β>1.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'à partir d'un certain rang
k, la propriété
Pkest vraie c'est-à-dire :
0<uk<β et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
0<uk+1<βPar hypothèse de récurrence :
0<uk<β , or la fonction
f est croissante
]0;β[, d'où
f(0)<f(uk)<f(β). Or
f(0)=0 et
f(β)=β.
Il vient alors que :
0<f(uk)<β. De plus,
f(uk)=uk+1Finalement :
0<uk+1<βAinsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
0<un<β .